а. Сплошной цилиндр вырезан из намагниченного до насыщения же
+
леза так, что его ось совпадает с направлением намагничивания. Докажите экви
+
валентность магнитного поля этого цилиндра полю поперечного тока, текущего
+
по его поверхности, линейная плотность которого равна магнитному моменту
+
единицы объема железа.
+
б. Из длинного стержня, намагниченного до насыщения вдоль оси, вырезали
+
кубик так, что одно из ребер кубика было направлено вдоль направления на
+
магничивания. Во сколько раз индукция магнитного поля в центре кубика будет
+
меньше индукции в стержне?
+
+
в. Определите индукцию магнитного поля в центре цилиндра длины $l$ и ра
+
диуса $r$. Магнитный момент единицы объема железа равен $M$. Чему равна эта
+
индукция при $r ≪ l$? при $r ≫ l$?
+
+
г. Решите предыдущую задачу в случае, если по оси цилиндра просверлено
+
отверстие малого радиуса.
+
### Решение
а)Докажем что ток в намагниченном до насыщения цилиндре возникает только на его внешней поверхности:
$$j=\Delta\times M$$$$i=\hat{n}\times M$$ где $\hat{n}$ - вектор нормали к поверхности.
Т.к. проводник намагничен до насыщение ротор $M=0$ следовательно внутри тока нет. На торцах векторное произведение обращается в нуль, поэтому там тока тоже нет $\Rightarrow$ ток есть только на торцах и по правилу векторного произведения его линейная плотность равна $i=M$
б) Разница в индукции возникает как следствие разницы телесных углов под которыми видны поверхности с током. Аналогично пункту а токи возникают только на внешней поверхности и отсутствуют на торцах и внутри проводников. В случае бесконечного стерня телесный угол равен $\Omega = 4\pi$. В случае квадрата $\Omega' = \frac{8\pi}{3}$ следовательно индукция меньше в $n=1,5$ раза.
в)Телесный угол под которым видна внешняя поверхность по которой течет ток равен $$\Omega = 4\pi - 2\cdot2\pi (1-cos\alpha)=4\pi cos\alpha$$ где $cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{4\frac{r^2}{l^2}+1}}$
Следовательно:
$$B = \frac{\mu_0M}{\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}}}$$
$r/l \to 0$:
$$B \to\mu_0 M$$
$l/r \to 0$:
$$B \to\frac{\mu_0 Ml}{2r}$$
г)Представим поле прошлого цилиндра как суперпозицию полей тонкого цилиндра в центре и остальной части. $$\\hat{B}_{тонкого}+\hat{B}_{ост}=\hat{B}_{цел}$$
а. Сплошной цилиндр вырезан из намагниченного до насыщения же
леза так, что его ось совпадает с направлением намагничивания. Докажите экви
валентность магнитного поля этого цилиндра полю поперечного тока, текущего
по его поверхности, линейная плотность которого равна магнитному моменту
единицы объема железа.
б. Из длинного стержня, намагниченного до насыщения вдоль оси, вырезали
кубик так, что одно из ребер кубика было направлено вдоль направления на
магничивания. Во сколько раз индукция магнитного поля в центре кубика будет
меньше индукции в стержне?
в. Определите индукцию магнитного поля в центре цилиндра длины $l$ и ра
диуса $r$. Магнитный момент единицы объема железа равен $M$. Чему равна эта
индукция при $r ≪ l$? при $r ≫ l$?
г. Решите предыдущую задачу в случае, если по оси цилиндра просверлено
отверстие малого радиуса.
### Решение
### Решение
а)Докажем что ток в намагниченном до насыщения цилиндре возникает только на его внешней поверхности:
а)Докажем что ток в намагниченном до насыщения цилиндре возникает только на его внешней поверхности:
$$j=\Delta\times M$$$$i=\hat{n}\times M$$ где $\hat{n}$ - вектор нормали к поверхности.
$$j=\Delta\times M$$$$i=\hat{n}\times M$$ где $\hat{n}$ - вектор нормали к поверхности.
Т.к. проводник намагничен до насыщение ротор $M=0$ следовательно внутри тока нет. На торцах векторное произведение обращается в нуль, поэтому там тока тоже нет $\Rightarrow$ ток есть только на торцах и по правилу векторного произведения его линейная плотность равна $i=M$
Т.к. проводник намагничен до насыщение ротор $M=0$ следовательно внутри тока нет. На торцах векторное произведение обращается в нуль, поэтому там тока тоже нет $\Rightarrow$ ток есть только на торцах и по правилу векторного произведения его линейная плотность равна $i=M$
б) Разница в индукции возникает как следствие разницы телесных углов под которыми видны поверхности с током. Аналогично пункту а токи возникают только на внешней поверхности и отсутствуют на торцах и внутри проводников. В случае бесконечного стерня телесный угол равен $\Omega = 4\pi$. В случае квадрата $\Omega' = \frac{8\pi}{3}$ следовательно индукция меньше в $n=1,5$ раза.
б) Разница в индукции возникает как следствие разницы телесных углов под которыми видны поверхности с током. Аналогично пункту а токи возникают только на внешней поверхности и отсутствуют на торцах и внутри проводников. В случае бесконечного стерня телесный угол равен $\Omega = 4\pi$. В случае квадрата $\Omega' = \frac{8\pi}{3}$ следовательно индукция меньше в $n=1,5$ раза.
в)Телесный угол под которым видна внешняя поверхность по которой течет ток равен $$\Omega = 4\pi - 2\cdot2\pi (1-cos\alpha)=4\pi cos\alpha$$ где $cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{4\frac{r^2}{l^2}+1}}$
в)Телесный угол под которым видна внешняя поверхность по которой течет ток равен $$\Omega = 4\pi - 2\cdot2\pi (1-cos\alpha)=4\pi cos\alpha$$ где $cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{4\frac{r^2}{l^2}+1}}$
Следовательно:
Следовательно:
$$B = \frac{\mu_0M}{\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}}}$$
$$B = \frac{\mu_0M}{\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}}}$$
$r/l \to 0$:
$r/l \to 0$:
$$B \to\mu_0 M$$
$$B \to\mu_0 M$$
$l/r \to 0$:
$l/r \to 0$:
$$B \to\frac{\mu_0 Ml}{2r}$$
$$B \to\frac{\mu_0 Ml}{2r}$$
г)Представим поле прошлого цилиндра как суперпозицию полей тонкого цилиндра в центре и остальной части. $$\\hat{B}_{тонкого}+\hat{B}_{ост}=\hat{B}_{цел}$$
г)Представим поле прошлого цилиндра как суперпозицию полей тонкого цилиндра в центре и остальной части. $$\\hat{B}_{тонкого}+\hat{B}_{ост}=\hat{B}_{цел}$$
