| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $9.3.11.$ | | $9.3.11.$ |
| $а.\ $ Сплошной цилиндр вырезан из намагниченного до насыщения железа так, что его ось совпадает с направлением намагничивания. Докажите эквивалентность магнитного поля этого цилиндра полю поперечного тока, текущего | | $а.\ $ Сплошной цилиндр вырезан из намагниченного до насыщения железа так, что его ось совпадает с направлением намагничивания. Докажите эквивалентность магнитного поля этого цилиндра полю поперечного тока, текущего |
| по его поверхности, линейная плотность которого равна магнитному моменту единицы объема железа. | | по его поверхности, линейная плотность которого равна магнитному моменту единицы объема железа. |
| | | |
| $б.\ $Из длинного стержня, намагниченного до насыщения вдоль оси, вырезали кубик так, что одно из ребер кубика было направлено вдоль направления намагничивания. Во сколько раз индукция магнитного поля в центре кубика будет меньше индукции в стержне? | | $б.\ $Из длинного стержня, намагниченного до насыщения вдоль оси, вырезали кубик так, что одно из ребер кубика было направлено вдоль направления намагничивания. Во сколько раз индукция магнитного поля в центре кубика будет меньше индукции в стержне? |
| | | |
| $в.\ $Определите индукцию магнитного поля в центре цилиндра длины $l$ и радиуса $r$. Магнитный момент единицы объема железа равен $M$. Чему равна эта индукция при $r ≪ l$? при $r ≫ l$? | | $в.\ $Определите индукцию магнитного поля в центре цилиндра длины $l$ и радиуса $r$. Магнитный момент единицы объема железа равен $M$. Чему равна эта индукция при $r ≪ l$? при $r ≫ l$? |
| | | |
| $г.\ $Решите предыдущую задачу в случае, если по оси цилиндра просверлено отверстие малого радиуса. | | $г.\ $Решите предыдущую задачу в случае, если по оси цилиндра просверлено отверстие малого радиуса. |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| | | |
| $а)\$Докажем что ток в намагниченном до насыщения цилиндре возникает только на его внешней поверхности: | | $а)\$Докажем что ток в намагниченном до насыщения цилиндре возникает только на его внешней поверхности: |
| $$j=\Delta \times M$$ $$i=\hat{n}\times M$$ где $\hat{n}$ - вектор нормали к поверхности. | | $$j=\Delta \times M$$ $$i=\hat{n}\times M$$ где $\hat{n}$ - вектор нормали к поверхности. |
| Т.к. проводник намагничен до насыщение ротор $M=0$ следовательно внутри тока нет. На торцах векторное произведение обращается в нуль, поэтому там тока тоже нет $\Rightarrow$ ток есть только на торцах и по правилу векторного произведения его линейная плотность равна $i=M$ | | Т.к. проводник намагничен до насыщение ротор $M=0$ следовательно внутри тока нет. На торцах векторное произведение обращается в нуль, поэтому там тока тоже нет $\Rightarrow$ ток есть только на торцах и по правилу векторного произведения его линейная плотность равна $i=M$ |
| | | |
| $б) \$Разница в индукции возникает как следствие разницы телесных углов под которыми видны поверхности с током. Аналогично пункту а токи возникают только на внешней поверхности и отсутствуют на торцах и внутри проводников. В случае бесконечного стерня телесный угол равен $\Omega = 4\pi$. В случае квадрата $\Omega' = \frac{8\pi}{3}$ следовательно индукция меньше в $n=1,5$ раза. | | $б) \$Разница в индукции возникает как следствие разницы телесных углов под которыми видны поверхности с током. Аналогично пункту а токи возникают только на внешней поверхности и отсутствуют на торцах и внутри проводников. В случае бесконечного стерня телесный угол равен $\Omega = 4\pi$. В случае квадрата $\Omega' = \frac{8\pi}{3}$ следовательно индукция меньше в $n=1,5$ раза. |
| | | |
| $в)\$Телесный угол под которым видна внешняя поверхность по которой течет ток равен $$\Omega = 4\pi - 2\cdot2\pi (1-cos\alpha)=4\pi cos\alpha$$ где $cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{4\frac{r^2}{l^2}+1}}$ | | $в)\$Телесный угол под которым видна внешняя поверхность по которой течет ток равен $$\Omega = 4\pi - 2\cdot2\pi (1-cos\alpha)=4\pi cos\alpha$$ где $cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{4\frac{r^2}{l^2}+1}}$ |
| Следовательно: | | Следовательно: |
| $$B = \frac{\mu_0M}{\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}}}$$ | | $$B = \frac{\mu_0M}{\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}}}$$ |
| $r/l \to 0$: | | $r/l \to 0$: |
| $$B \to \mu_0 M$$ | | $$B \to \mu_0 M$$ |
| $l/r \to 0$: | | $l/r \to 0$: |
| $$B \to \frac{\mu_0 Ml}{2r}$$ | | $$B \to \frac{\mu_0 Ml}{2r}$$ |
| $г)\$Представим поле прошлого цилиндра как суперпозицию полей тонкого цилиндра в центре и остальной части. $$\\hat{B}_{тонкого}+\hat{B}_{ост}=\hat{B}_{цел}$$ | | $г)\$Представим поле прошлого цилиндра как суперпозицию полей тонкого цилиндра в центре и остальной части. $$\\hat{B}_{тонкого}+\hat{B}_{ост}=\hat{B}_{цел}$$ |
| $$\hat{B}_{ост} = -(\hat{B}_{тонкого}-\hat{B}_{цел})$$ | | $$\hat{B}_{ост} = -(\hat{B}_{тонкого}-\hat{B}_{цел})$$ |
| $$B = \mu_0 M(1-\frac{1}{\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}}})$$ | | $$B = \mu_0 M(1-\frac{1}{\sqrt{1+4\frac{r^2}{l^2}}})$$ |
| $r/l \to 0$: | | $r/l \to 0$: |
| $$B \to \frac{2\mu_0 Mr^2}{l^2}$$ | | $$B \to \frac{2\mu_0 Mr^2}{l^2}$$ |
| $l/r \to 0$: | | $l/r \to 0$: |
| $$B \to \mu_0 M$$ | | $$B \to \mu_0 M$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
|  | |  |
| $а) \ $ Магнитное поле цилиндра складывается из магнитных полей тонких дисков | | $а) \ $ Магнитное поле цилиндра складывается из магнитных полей тонких дисков |
| толщины $∆$, на которые можно разбить этот цилиндр. Магнитное же поле каждого диска сов | | толщины $∆$, на которые можно разбить этот цилиндр. Магнитное же поле каждого диска сов |
| падает с магнитным полем тока, текущего с линейной плотностью $M$ ($M$ — магнитный момент | | падает с магнитным полем тока, текущего с линейной плотностью $M$ ($M$ — магнитный момент |
| единицы объема железа); по внешней поверхности диска (см. решение задачи 9.2.19∗). | | единицы объема железа); по внешней поверхности диска (см. решение задачи 9.2.19∗). |
| | | |
| $б) \ $Направление индукции магнитного поля в центре кубика совпадает с направлением | | $б) \ $Направление индукции магнитного поля в центре кубика совпадает с направлением |
| намагничивания. Модуль этого вектора будет во столько раз меньше модуля индукции магнит | | намагничивания. Модуль этого вектора будет во столько раз меньше модуля индукции магнит |
