Решебник Савченко

<script type="text/x-mathjax-config"> MathJax.Hub.Config({
  extensions: ['tex2jax.js'],
  jax: ['input/TeX','output/HTML-CSS'],
  tex2jax: {
    inlineMath: [ ['$','$'], ['\\\(','\\\)'] ],
    processEscapes: true,
    processClass: 'tex2jax',
    ignoreClass: 'html'
  },
  showProcessingMessages: false,
  messageStyle: 'none'
});
</script>

Решение задач из Савченко О.Я.

Aliaksandr Melnichenka
October 2023

<div class="container row">
  <div id="main" class="col col-lg-9">
    <div class="row">
      <div class="col caption">
        <h3 id="back-link"><a href="/">$\leftarrow$Назад</a></h3>
      </div>
    </div>

    <div id="1" class="row odd">
      <div class="col col-lg-12">
        <h3> Условие: </h3>
        <div class="task">
          <p> 
          	$1.2.11^*.$ $а$. В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью $v_0$. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения $s$? В нулевой момент времени сосуд пуст.
          </p>
          <p>
            $б$. Струя масла, попадающая на поверхность воды, растекается по ней круглым пятном толщины $h$. Как зависит от времени скорость движения границы

пятна, если в единицу времени поступает объем масла $q$? В начальный момент
времени радиус пятна равен нулю.

        <h3> Решение: </h3>

          <center>
          <figure>
            <img src="drawing1.png"
              loading="lazy" width="200" />
            <figcaption>
              Конический сосуд
            </figcaption>
          </figure>
          </center>

        <p>
          $a)$ К моменту времени $t$, уровень воды будет равен $v_0t$. А скорость изменения объема будет равна:
        </p>
        <p class="exp">
          $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi r(t)^2 dx}{dt}$$
        </p>

        <p>
          Где $dx$ - изменение уровня воды:
        </p>
        <p class="exp">
          $$\frac{dV}{dt} = \pi r(t)^2 v_0$$
        </p>
        <p>
          Из геометрии, 
        </p>
        <p class="exp">
          $$r(t) = v_0 t \cdot tg(\alpha)$$
        </p>
        <p>
          По определению, скорость поступающей воды равна $v = \frac{dV}{sdt}$ 
        </p>
        <p>
          Подставляя предыдущие выражения: 
        </p>
        <p class="exp">
          $$v = {\pi v_0^3 t^2 \cdot tg^2(\alpha)}/s$$
        </p>
        <p>
          $б)$ За малый промежуток времени $dt$ объем изменяется на $dV = q dt$
        </p>
        <p>
          Также приращение объема можно расписать как $dV = 2\pi r dr \cdot h $
        </p>
        <p>
          Таким образом:
        </p>
        <p class="exp">
          $ q dt = 2\pi r dr \cdot h$ 
        </p>
        <p>
          Учитывая $v = \frac{dr}{dt}$,
        </p>
        <p class="exp">
          $$ \fbox{$v = \frac{q}{2\pi r h}$}$$
        </p>

        <h4> 
        	Ответ: 
        </h4>
        <p>
          а. $v=\frac{\pi v_0^3t^2\operatorname{tg}^2\alpha}{s}$; б. $v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{q}{\pi ht}}$
        </p>

        <br>

	  </div>

	</div>

      </div>
    </div>
  </div>
</div>
</div>
<footer class="row container">
  <div class="col col-lg-3">
    <div class="footer-left">
      <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; 2023-2024 <br>
        </small>
      </p>
    </div>
  </div>
  <div class="col col-lg-6">
    <div class="footer-middle">
      <p>
        <small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br>   
      </p>
    </div>
  </div>
</footer>