$11.4.24^*.$ В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных сопротивления $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$, происходят затухающие колебания. За некоторое время амплитуда тока в контуре уменьшилась от значения $I_1$ до значения $I_2$. Какое количество теплоты выделилось за это время на сопротивлении?
### Решение
@@ -7,31 +7,31 @@Решение
Если представить, что в процессе затухающих колебаний амплитуда меняется медленно, то можно решить задачу, используя сведения из теории идеального колебательного контура, в котором колебания не прекращаются.
−
Если говорить подробнее, то из второго правила Кирхгофа для цепи $RLC$
+
Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1]
$$
−
iR+L\frac{di}{dt}+U_C=0,
+
iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,
$$
−
где $i$ есть ток в контуре, $U_C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $U_C$ зависят от времени),
+
где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени),
−
можно получить диффур [1]
+
продифференцировать по $t$, то можно получить диффур
где $q$ есть заряд конденсатора, $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.
+
где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.
Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:
$$
−
q=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),
+
i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),
$$
где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.
−
Итак, в нашей задаче и заряд и ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).
+
Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).
Рассмотрим момент времени, когда ток в цепи максимален и равен $I_1$. В этот момент энергия есть в катушке
$$
W_{L1}=\frac{LI_1^2}{2}.
$$
Но также в этот момент оказывается есть энергия в конденсаторе. Из-за того, что производная тока в этот момент равна нулю то напряжение на катушке равно нулю. Но тогда из второго правила Кирхгофа напряжение на резисторе $I_1R$ равно напряжению на конденсаторе $U_{C1}$:
$$
I_1R=U_{C1}.
$$
Отсюда энергия конденсатора
$$
W_{C1}=\frac{C\left(I_1R\right)^2}{2}.
$$
Суммарная энергия контура
$$
W_1=W_{L1}+W_{C1}.
$$
Аналогичные рассуждения можно сделать для второго момента времени с максимумом тока $I_2$.
В итоге получится ответ. Тепло равно разности энергий контура
$11.4.24^*.$ В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных сопротивления $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$, происходят затухающие колебания. За некоторое время амплитуда тока в контуре уменьшилась от значения $I_1$ до значения $I_2$. Какое количество теплоты выделилось за это время на сопротивлении?
$11.4.24^*.$ В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных сопротивления $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$, происходят затухающие колебания. За некоторое время амплитуда тока в контуре уменьшилась от значения $I_1$ до значения $I_2$. Какое количество теплоты выделилось за это время на сопротивлении?
### Решение
### Решение
@@ -7,31 +7,31 @@Решение
Если представить, что в процессе затухающих колебаний амплитуда меняется медленно, то можно решить задачу, используя сведения из теории идеального колебательного контура, в котором колебания не прекращаются.
Если представить, что в процессе затухающих колебаний амплитуда меняется медленно, то можно решить задачу, используя сведения из теории идеального колебательного контура, в котором колебания не прекращаются.
Если говорить подробнее, то из второго правила Кирхгофа для цепи $RLC$
Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1]
$$
$$
iR+L\frac{di}{dt}+U_C=0,
iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,
$$
$$
где $i$ есть ток в контуре, $U_C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $U_C$ зависят от времени),
где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени),
можно получить диффур [1]
продифференцировать по $t$, то можно получить диффур
где $q$ есть заряд конденсатора, $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.
где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.
Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:
Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:
$$
$$
q=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),
i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),
$$
$$
где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.
где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.
Итак, в нашей задаче и заряд и ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).
Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).
Рассмотрим момент времени, когда ток в цепи максимален и равен $I_1$. В этот момент энергия есть в катушке
Рассмотрим момент времени, когда ток в цепи максимален и равен $I_1$. В этот момент энергия есть в катушке
$$
$$
W_{L1}=\frac{LI_1^2}{2}.
W_{L1}=\frac{LI_1^2}{2}.
$$
$$
Но также в этот момент оказывается есть энергия в конденсаторе. Из-за того, что производная тока в этот момент равна нулю то напряжение на катушке равно нулю. Но тогда из второго правила Кирхгофа напряжение на резисторе $I_1R$ равно напряжению на конденсаторе $U_{C1}$:
Но также в этот момент оказывается есть энергия в конденсаторе. Из-за того, что производная тока в этот момент равна нулю то напряжение на катушке равно нулю. Но тогда из второго правила Кирхгофа напряжение на резисторе $I_1R$ равно напряжению на конденсаторе $U_{C1}$:
$$
$$
I_1R=U_{C1}.
I_1R=U_{C1}.
$$
$$
Отсюда энергия конденсатора
Отсюда энергия конденсатора
$$
$$
W_{C1}=\frac{C\left(I_1R\right)^2}{2}.
W_{C1}=\frac{C\left(I_1R\right)^2}{2}.
$$
$$
Суммарная энергия контура
Суммарная энергия контура
$$
$$
W_1=W_{L1}+W_{C1}.
W_1=W_{L1}+W_{C1}.
$$
$$
Аналогичные рассуждения можно сделать для второго момента времени с максимумом тока $I_2$.
Аналогичные рассуждения можно сделать для второго момента времени с максимумом тока $I_2$.
В итоге получится ответ. Тепло равно разности энергий контура
В итоге получится ответ. Тепло равно разности энергий контура
