| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $11.4.24^*.$ В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных сопротивления $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$, происходят затухающие колебания. За некоторое время амплитуда тока в контуре уменьшилась от значения $I_1$ до значения $I_2$. Какое количество теплоты выделилось за это время на сопротивлении? | | $11.4.24^*.$ В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных сопротивления $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$, происходят затухающие колебания. За некоторое время амплитуда тока в контуре уменьшилась от значения $I_1$ до значения $I_2$. Какое количество теплоты выделилось за это время на сопротивлении? |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Если представить, что в процессе затухающих колебаний амплитуда меняется медленно, то можно решить задачу, используя сведения из теории идеального колебательного контура, в котором колебания не прекращаются. | | Если представить, что в процессе затухающих колебаний амплитуда меняется медленно, то можно решить задачу, используя сведения из теории идеального колебательного контура, в котором колебания не прекращаются. |
| | | |
| Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1] | | Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1] |
| | | |
| $$ | | $$ |
| iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0, | | iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени), | | где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени), |
| | | |
| продифференцировать по $t$, то можно получить диффур | | продифференцировать по $t$, то можно получить диффур |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0, | | \frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы. | | где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы. |
| | | |
| Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение: | | Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right), | | i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$. | | где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$. |
| | | |
| Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее). | | Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее). |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Рассмотрим момент времени, когда ток в цепи максимален и равен $I_1$. В этот момент энергия есть в катушке | | Рассмотрим момент времени, когда ток в цепи максимален и равен $I_1$. В этот момент энергия есть в катушке |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W_{L1}=\frac{LI_1^2}{2}. | | W_{L1}=\frac{LI_1^2}{2}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Но также в этот момент оказывается есть энергия в конденсаторе. Из-за того, что производная тока в этот момент равна нулю то напряжение на катушке равно нулю. Но тогда из второго правила Кирхгофа напряжение на резисторе $I_1R$ равно напряжению на конденсаторе $U_{C1}$: | | Но также в этот момент оказывается есть энергия в конденсаторе. Из-за того, что производная тока в этот момент равна нулю то напряжение на катушке равно нулю. Но тогда из второго правила Кирхгофа напряжение на резисторе $I_1R$ равно напряжению на конденсаторе $U_{C1}$: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| I_1R=U_{C1}. | | I_1R=U_{C1}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Отсюда энергия конденсатора | | Отсюда энергия конденсатора |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W_{C1}=\frac{C\left(I_1R\right)^2}{2}. | | W_{C1}=\frac{C\left(I_1R\right)^2}{2}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Суммарная энергия контура | | Суммарная энергия контура |
| | | |
| $$ | | $$ |
| W_1=W_{L1}+W_{C1}. | | W_1=W_{L1}+W_{C1}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Аналогичные рассуждения можно сделать для второго момента времени с максимумом тока $I_2$. | | Аналогичные рассуждения можно сделать для второго момента времени с максимумом тока $I_2$. |
| | | |
| В итоге получится ответ. Тепло равно разности энергий контура | | В итоге получится ответ. Тепло равно разности энергий контура |
| | | |
| $$ | | $$ |
| Q=W_1-W_2=\frac{1}{2}\left(CR^2+L\right)\left(I_1^2-I_2^2\right). | | Q=W_1-W_2=\frac{1}{2}\left(CR^2+L\right)\left(I_1^2-I_2^2\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| #### Литература | | #### Литература |
| | | |
| [1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны». | | [1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны». |
