| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $11.4.23^*.$ Из-за наличия активного сопротивления проводов в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкости $1~\text{мкФ}$ и катушки индуктивности $1~\text{мкГн}$, амплитуда тока за $1~\text{мс}$ уменьшилась в два раза. Определите сопротивление проводов. | | $11.4.23^*.$ Из-за наличия активного сопротивления проводов в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкости $1~\text{мкФ}$ и катушки индуктивности $1~\text{мкГн}$, амплитуда тока за $1~\text{мс}$ уменьшилась в два раза. Определите сопротивление проводов. |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1] | | Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1] |
| | | |
| $$ | | $$ |
| iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0, | | iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени), | | где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени), |
| | | |
| продифференцировать по $t$, то можно получить диффур | | продифференцировать по $t$, то можно получить диффур |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0, | | \frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы. | | где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы. |
| | | |
| Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение: | | Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),\tag{1} | | i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$. | | где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$. |
| $$ | | $$ |
| A_1=ae^{-\gamma\cdot0}=a, | | A_1=ae^{-\gamma\cdot0}=a, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| а в момент $t=\tau$ амплитуда равна | | а в момент $t=\tau$ амплитуда равна |
| | | |
| $$ | | $$ |
| A_2=ae^{-\gamma\tau}=ae^{-\tfrac{R}{2L}\tau}. | | A_2=ae^{-\gamma\tau}=ae^{-\tfrac{R}{2L}\tau}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Тогда по задаче | | Тогда по задаче |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{A_1}{A_2}=e^{\tfrac{R}{2L}\tau}=2. | | \frac{A_1}{A_2}=e^{\tfrac{R}{2L}\tau}=2. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Откуда | | Откуда |
| | | |
| $$ | | $$ |
| R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}. | | R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Ответ не зависит от емкости $C$. | | Ответ не зависит от емкости $C$. |
| | | |
| | | |
| #### Литература | | #### Литература |
| | | |
| [1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны». | | [1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны». |
| | | |
| [2] [Уравнение гармонического осциллятора с затуханием](https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0203.pdf). https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm. | | [2] [Уравнение гармонического осциллятора с затуханием](https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0203.pdf). https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm. |
| | | |
| [3] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003. | | [3] Теоретические основы электротехники. Том 2. К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. 2003. |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}. | | R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}. |
| $$ | | $$ |
