Правка разделов «Решение», «Литература», «Ответ»

igor правка от 15 июн. 2026 г., 07:58

правка #18810 предыдущая #18808 ← раньше позже →

ru/11.4.23.md +29 −14

			### Условие

			$11.4.23^*.$ Из-за наличия активного сопротивления проводов в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкости $1~\text{мкФ}$ и катушки индуктивности $1~\text{мкГн}$, амплитуда тока за $1~\text{мс}$ уменьшилась в два раза. Определите сопротивление проводов.

		@@ -5,55 +5,70 @@Условие

			### Решение

		−	~~из второго~~ правила Кирхгофа для цепи $RLC$
		+	Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1]

			$$
		−	iR+L\frac{di}{dt}+~~U_C~~=0,
		+	iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,
			$$

		−	где $i$ есть ток в контуре, $U_C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $~~U_C~~$ зависят от времени),
		+	где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени),

		−	можно получить диффур ~~[1]~~
		+	продифференцировать по $t$, то можно получить диффур

			$$
		−	\frac{d^2q}{dt^2}+2\gamma\frac{dq}{dt}+\omega_0^2q=0,
		+	\frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0,
			$$

		−	где $~~q$ есть заряд конденсатора, $~~\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.
		+	где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.

			Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:

			$$
		−	q=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),\tag{1}
		+	i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),\tag{1}
			$$

			где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.

		−	Итак, в нашей задаче ~~и заряд и~~ ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).
		+	Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).

			![\|965x837, 100%](../../img/11.4.23/11.4.23.png)

		−	П~~родифференцируем $(1)$ и получим зависимость тока от времени~~
		+	Пусть в момент $t=0$ амплитуда из $(1)$ равна

			$$
		−	i=
		+	A_1=ae^{-\gamma\cdot0}=a,
			$$

		−	Продолжение следует...
		+	а в момент $t=\tau$ амплитуда равна

		+	$$
		+	A_2=ae^{-\gamma\tau}=ae^{-\tfrac{R}{2L}\tau}.
		+	$$

		+	Тогда по задаче

		+	$$
		+	\frac{A_1}{A_2}=e^{-\tfrac{R}{2L}\tau}=2.
		+	$$

		+	Откуда

		+	$$
		+	R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}.
		+	$$

		+	Ответ не зависит от емкости $C$.


		+	#### Литература

		+	[1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны».

		+	[2] [Уравнение гармонического осциллятора с затуханием](https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0203.pdf). https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm.


		−
		−
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$$
		+	R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}.
		+	$$

	### Условие		### Условие

	$11.4.23^*.$ Из-за наличия активного сопротивления проводов в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкости $1~\text{мкФ}$ и катушки индуктивности $1~\text{мкГн}$, амплитуда тока за $1~\text{мс}$ уменьшилась в два раза. Определите сопротивление проводов.		$11.4.23^*.$ Из-за наличия активного сопротивления проводов в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкости $1~\text{мкФ}$ и катушки индуктивности $1~\text{мкГн}$, амплитуда тока за $1~\text{мс}$ уменьшилась в два раза. Определите сопротивление проводов.

	@@ -5,55 +5,70 @@Условие

	### Решение		### Решение

	~~из второго~~ правила Кирхгофа для цепи $RLC$		Если говорить подробнее, то если второе правило Кирхгофа для цепи $RLC$ [1]

	$$		$$
	iR+L\frac{di}{dt}+~~U_C~~=0,		iR+L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,
	$$		$$

	где $i$ есть ток в контуре, $U_C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $~~U_C~~$ зависят от времени),		где $i$ есть ток в контуре, $q/C$ есть напряжение на конденсаторе в контуре ($i$ и $q$ зависят от времени),

	можно получить диффур ~~[1]~~		продифференцировать по $t$, то можно получить диффур

	$$		$$
	\frac{d^2q}{dt^2}+2\gamma\frac{dq}{dt}+\omega_0^2q=0,		\frac{d^2i}{dt^2}+2\gamma\frac{di}{dt}+\omega_0^2i=0,
	$$		$$

	где $~~q$ есть заряд конденсатора, $~~\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.		где $\gamma=R/(2L)$ есть коэффициент затухания, $\omega_0^2=1/(LC)$ есть собственная частота колебательной системы.

	Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:		Этот диффур в общем имеет разные решения [1, 2], но только одно из них имеет вид колебаний, как и говорится в задаче, а именно решение:

	$$		$$
	q=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),\tag{1}		i=ae^{-\gamma t}\cos\left(\omega t+\delta\right),\tag{1}
	$$		$$

	где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.		где $a$ и $\delta$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояний системы, в которых про эту систему что-то известно; $\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2$.

	Итак, в нашей задаче ~~и заряд и~~ ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).		Итак, в нашей задаче ток меняются как затухающий синус (см. рисунок далее).

	![\|965x837, 100%](../../img/11.4.23/11.4.23.png)		![\|965x837, 100%](../../img/11.4.23/11.4.23.png)

	П~~родифференцируем $(1)$ и получим зависимость тока от времени~~		Пусть в момент $t=0$ амплитуда из $(1)$ равна

	$$		$$
	i=		A_1=ae^{-\gamma\cdot0}=a,
	$$		$$

	Продолжение следует...		а в момент $t=\tau$ амплитуда равна

			$$
			A_2=ae^{-\gamma\tau}=ae^{-\tfrac{R}{2L}\tau}.
			$$

			Тогда по задаче

			$$
			\frac{A_1}{A_2}=e^{-\tfrac{R}{2L}\tau}=2.
			$$

			Откуда

			$$
			R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}.
			$$

			Ответ не зависит от емкости $C$.


			#### Литература

			[1] Сивухин Д. В. Электричество //Сер." Общий курс физики. – 1983. – Т. 3. Глава «Колебания и волны».

			[2] [Уравнение гармонического осциллятора с затуханием](https://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0203.pdf). https://eqworld.ipmnet.ru/indexr.htm.




	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$$
			R=\frac{2L\ln2}{\tau}\approx1{,}4\cdot10^{-3}~\text{Ом}.
			$$