$11.4.11^*.$ В схеме, изображенной на рисунке, в момент времени $t = 0$ замыкают ключ $K$. Определите ток в цепи, если источник дает: а) постоянное напряжение $V_0$; б) косинусоидальное напряжение $V0\cos\omega t$. Определите максимальный ток, если $V_0 = 100~\text{В}$, $L = 10^{-2}~\text{Гн}$, $C = 10^{-3}~\text{Ф}$, $\nu = \omega/(2\pi) = 50~\text{Гц}$.
Это — линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Линейное — потому что первой тсепени относительно неизвестной $i$ и ее производных по времени. Неоднородное, так как содержит функцию $f(t)\equiv-\frac{V_0\omega}{L}\sin\omega t$, зависящую от независимой переменной $t$.
Решение такого уравнения может быть представлено в виде суммы
- частного решения $\tilde\imath$ того же уравнения и
- общего решения $\bar\imath$ соответствующего однородного уравнения.
То есть,
$$
i=\tilde\imath+\bar\imath.
$$
Соответствующее однородное уравнение есть $\frac{i}{LC}+\frac{d^2i}{dt^2}=0$ (просто убирается $f(t)$, обнуляется). Общее его решение
где $A$ и $B$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояния с известными данными, $\omega_0^2=\frac{1}{LC}$.
Частное решение $\tilde\imath$ уравнения $(2)$ в простом случае подбирается (кто-то может угадывать). То есть, вместо $i$ в этом уравнении нужно поставить такую функцию $f(t)$, чтобы это самое уравнение обратилось в тождество.
Самое простое, что можем предполагать, что $(2)$ обращается в верное равенство при $i\equiv\tilde I\sin\omega t$, где $\tilde I$ есть амплитуда этой функции (без нее нет верного равенства, проверьте). Так можем ожидать сокращения синусов и выход на верное равенство. Подставляем $i\equiv\tilde I\sin\omega t$ в $(2)$ и после сокращения на $\sin\omega t$ (так как уравнение должно выполняться при любых $t$) получаем для амплитуды
Объединяем решения в рамках как сумму и получаем решение диффура $(2)$
$$
i=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\sin\omega t+A\cos\omega t+B\sin\omega t.
$$
Находим постоянные $A,B$. При $t=0$ имеем $i=0$, тогда $A=0$.
Теперь для тока
$$
@@ -97,10 +99,60 @@Пункт б
i=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\sin\omega t+B\sin\omega_0 t.
$$
−
Еще при $t=0$ в $(1)$ имеем $q=0$, тогда $L\left.\frac{di}{dt}\right|_0=V_0\cos\omega t$, где $\left.\frac{di}{dt}\right|_0$ есть значение производной функции
+
Еще при $t=0$ в $(1)$ имеем $q=0$, тогда $L\left.\frac{di}{dt}\right|_0=V_0\cos\omega\cdot0$, где $\left.\frac{di}{dt}\right|_0$ есть значение производной функции $i(t)$ по $t$ в момент $t=0$.
+
Сделаем это подробно:
−
[продолжение должно быть, пишите про ошибки и прочее]
+
$$
+
\frac{di}{dt}=\frac{V_0\omega^2}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\cos\omega t+B\omega_0\cos\omega_0 t
Далее, максимум этого тока ищем. Он достигается, когда первый синус окажется равным $1$, а второй синус — равным $-1$. Это возможно, потому что сейчас увидим, что частоты $\omega,\omega_0$ близки: $\omega\approx\omega_0$, но не равны.
(здесь уже не забавляемся вроде $\sqrt{10}\approx\pi$, нет).
+
+
Как видим частоты близки. При решении, например, задачи $3.4.11$ было наглядно показано, что одновременно с максимумом одной гармонической функции другая гармоническая с близкой частотой сможет оказаться практически во всех фазах, а значит — и с практически любым значением из своей области (см. также $3.4.7$).
+
+
Итак, с учетом $\sin\omega t\equiv1$ и $\sin\omega_0 t\equiv-1$ для максимума $(3)$
$11.4.11^*.$ В схеме, изображенной на рисунке, в момент времени $t = 0$ замыкают ключ $K$. Определите ток в цепи, если источник дает: а) постоянное напряжение $V_0$; б) косинусоидальное напряжение $V0\cos\omega t$. Определите максимальный ток, если $V_0 = 100~\text{В}$, $L = 10^{-2}~\text{Гн}$, $C = 10^{-3}~\text{Ф}$, $\nu = \omega/(2\pi) = 50~\text{Гц}$.
$11.4.11^*.$ В схеме, изображенной на рисунке, в момент времени $t = 0$ замыкают ключ $K$. Определите ток в цепи, если источник дает: а) постоянное напряжение $V_0$; б) косинусоидальное напряжение $V0\cos\omega t$. Определите максимальный ток, если $V_0 = 100~\text{В}$, $L = 10^{-2}~\text{Гн}$, $C = 10^{-3}~\text{Ф}$, $\nu = \omega/(2\pi) = 50~\text{Гц}$.
Это — линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Линейное — потому что первой тсепени относительно неизвестной $i$ и ее производных по времени. Неоднородное, так как содержит функцию $f(t)\equiv-\frac{V_0\omega}{L}\sin\omega t$, зависящую от независимой переменной $t$.
Это — линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Линейное — потому что первой тсепени относительно неизвестной $i$ и ее производных по времени. Неоднородное, так как содержит функцию $f(t)\equiv-\frac{V_0\omega}{L}\sin\omega t$, зависящую от независимой переменной $t$.
Решение такого уравнения может быть представлено в виде суммы
Решение такого уравнения может быть представлено в виде суммы
- частного решения $\tilde\imath$ того же уравнения и
- частного решения $\tilde\imath$ того же уравнения и
- общего решения $\bar\imath$ соответствующего однородного уравнения.
- общего решения $\bar\imath$ соответствующего однородного уравнения.
То есть,
То есть,
$$
$$
i=\tilde\imath+\bar\imath.
i=\tilde\imath+\bar\imath.
$$
$$
Соответствующее однородное уравнение есть $\frac{i}{LC}+\frac{d^2i}{dt^2}=0$ (просто убирается $f(t)$, обнуляется). Общее его решение
Соответствующее однородное уравнение есть $\frac{i}{LC}+\frac{d^2i}{dt^2}=0$ (просто убирается $f(t)$, обнуляется). Общее его решение
где $A$ и $B$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояния с известными данными, $\omega_0^2=\frac{1}{LC}$.
где $A$ и $B$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояния с известными данными, $\omega_0^2=\frac{1}{LC}$.
Частное решение $\tilde\imath$ уравнения $(2)$ в простом случае подбирается (кто-то может угадывать). То есть, вместо $i$ в этом уравнении нужно поставить такую функцию $f(t)$, чтобы это самое уравнение обратилось в тождество.
Частное решение $\tilde\imath$ уравнения $(2)$ в простом случае подбирается (кто-то может угадывать). То есть, вместо $i$ в этом уравнении нужно поставить такую функцию $f(t)$, чтобы это самое уравнение обратилось в тождество.
Самое простое, что можем предполагать, что $(2)$ обращается в верное равенство при $i\equiv\tilde I\sin\omega t$, где $\tilde I$ есть амплитуда этой функции (без нее нет верного равенства, проверьте). Так можем ожидать сокращения синусов и выход на верное равенство. Подставляем $i\equiv\tilde I\sin\omega t$ в $(2)$ и после сокращения на $\sin\omega t$ (так как уравнение должно выполняться при любых $t$) получаем для амплитуды
Самое простое, что можем предполагать, что $(2)$ обращается в верное равенство при $i\equiv\tilde I\sin\omega t$, где $\tilde I$ есть амплитуда этой функции (без нее нет верного равенства, проверьте). Так можем ожидать сокращения синусов и выход на верное равенство. Подставляем $i\equiv\tilde I\sin\omega t$ в $(2)$ и после сокращения на $\sin\omega t$ (так как уравнение должно выполняться при любых $t$) получаем для амплитуды
Объединяем решения в рамках как сумму и получаем решение диффура $(2)$
Объединяем решения в рамках как сумму и получаем решение диффура $(2)$
$$
$$
i=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\sin\omega t+A\cos\omega t+B\sin\omega t.
i=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\sin\omega t+A\cos\omega t+B\sin\omega t.
$$
$$
Находим постоянные $A,B$. При $t=0$ имеем $i=0$, тогда $A=0$.
Находим постоянные $A,B$. При $t=0$ имеем $i=0$, тогда $A=0$.
Теперь для тока
Теперь для тока
$$
$$
@@ -97,10 +99,60 @@Пункт б
i=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\sin\omega t+B\sin\omega_0 t.
i=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\sin\omega t+B\sin\omega_0 t.
$$
$$
Еще при $t=0$ в $(1)$ имеем $q=0$, тогда $L\left.\frac{di}{dt}\right|_0=V_0\cos\omega t$, где $\left.\frac{di}{dt}\right|_0$ есть значение производной функции
Еще при $t=0$ в $(1)$ имеем $q=0$, тогда $L\left.\frac{di}{dt}\right|_0=V_0\cos\omega\cdot0$, где $\left.\frac{di}{dt}\right|_0$ есть значение производной функции $i(t)$ по $t$ в момент $t=0$.
Сделаем это подробно:
[продолжение должно быть, пишите про ошибки и прочее]
$$
\frac{di}{dt}=\frac{V_0\omega^2}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\cos\omega t+B\omega_0\cos\omega_0 t
Далее, максимум этого тока ищем. Он достигается, когда первый синус окажется равным $1$, а второй синус — равным $-1$. Это возможно, потому что сейчас увидим, что частоты $\omega,\omega_0$ близки: $\omega\approx\omega_0$, но не равны.
(здесь уже не забавляемся вроде $\sqrt{10}\approx\pi$, нет).
Как видим частоты близки. При решении, например, задачи $3.4.11$ было наглядно показано, что одновременно с максимумом одной гармонической функции другая гармоническая с близкой частотой сможет оказаться практически во всех фазах, а значит — и с практически любым значением из своей области (см. также $3.4.7$).
Итак, с учетом $\sin\omega t\equiv1$ и $\sin\omega_0 t\equiv-1$ для максимума $(3)$
