| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| | | |
| #### Пункт а | | #### Пункт а |
| | | |
| Основное по этому пункту сделано в решении задачи $11.4.9$. Оттуда закона тока | | Основное по этому пункту сделано в решении задачи $11.4.9$. Оттуда закона тока |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i=\frac{V_0}{L\omega}\sin\omega t, | | i=\frac{V_0}{L\omega}\sin\omega t, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| что дает | | что дает |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i=V_0\sqrt{\frac{C}{L}}\sin\omega t | | i=V_0\sqrt{\frac{C}{L}}\sin\omega t |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и максимальный ток | | и максимальный ток |
| | | |
| $$ | | $$ |
| I_\text{m}=V_0\sqrt{\frac{C}{L}}\approx\frac{100}{\pi}\approx32~\text{А}. | | I_\text{m}=V_0\sqrt{\frac{C}{L}}\approx\frac{100}{\pi}\approx32~\text{А}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (забавляемся, считая $\sqrt{10}\approx\pi$). | | (забавляемся, считая $\sqrt{10}\approx\pi$). |
| | | |
| | | |
| #### Пункт б | | #### Пункт б |
| | | |
| Второе правило Кирхгофа | | Второе правило Кирхгофа |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{q}{C}+L\frac{di}{dt}=V_0\cos\omega t\tag{1} | | \frac{q}{C}+L\frac{di}{dt}=V_0\cos\omega t\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| дифференцируем по $t$ и немного меняем: | | дифференцируем по $t$ и немного меняем: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{i}{LC}+\frac{d^2i}{dt^2}=-\frac{V_0\omega}{L}\sin\omega t.\tag{2} | | \frac{i}{LC}+\frac{d^2i}{dt^2}=-\frac{V_0\omega}{L}\sin\omega t.\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Это — линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Линейное — потому что первой тсепени относительно неизвестной $i$ и ее производных по времени. Неоднородное, так как содержит функцию $f(t)\equiv-\frac{V_0\omega}{L}\sin\omega t$, зависящую от независимой переменной $t$. | | Это — линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Линейное — потому что первой тсепени относительно неизвестной $i$ и ее производных по времени. Неоднородное, так как содержит функцию $f(t)\equiv-\frac{V_0\omega}{L}\sin\omega t$, зависящую от независимой переменной $t$. |
| | | |
| Решение такого уравнения может быть представлено в виде суммы | | Решение такого уравнения может быть представлено в виде суммы |
| | | |
| - частного решения $\tilde\imath$ того же уравнения и | | - частного решения $\tilde\imath$ того же уравнения и |
| | | |
| - общего решения $\bar\imath$ соответствующего однородного уравнения. | | - общего решения $\bar\imath$ соответствующего однородного уравнения. |
| | | |
| То есть, | | То есть, |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i=\tilde\imath+\bar\imath. | | i=\tilde\imath+\bar\imath. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Соответствующее однородное уравнение есть $\frac{i}{LC}+\frac{d^2i}{dt^2}=0$ (просто убирается $f(t)$, обнуляется). Общее его решение | | Соответствующее однородное уравнение есть $\frac{i}{LC}+\frac{d^2i}{dt^2}=0$ (просто убирается $f(t)$, обнуляется). Общее его решение |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\bar\imath=A\cos\omega_0 t+B\sin\omega_0 t,} | | \boxed{\bar\imath=A\cos\omega_0 t+B\sin\omega_0 t,} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $A$ и $B$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояния с известными данными, $\omega_0^2=\frac{1}{LC}$. | | где $A$ и $B$ есть постоянные интегрирования, которые находят из состояния с известными данными, $\omega_0^2=\frac{1}{LC}$. |
| | | |
| Частное решение $\tilde\imath$ уравнения $(2)$ в простом случае подбирается (кто-то может угадывать). То есть, вместо $i$ в этом уравнении нужно поставить такую функцию $f(t)$, чтобы это самое уравнение обратилось в тождество. | | Частное решение $\tilde\imath$ уравнения $(2)$ в простом случае подбирается (кто-то может угадывать). То есть, вместо $i$ в этом уравнении нужно поставить такую функцию $f(t)$, чтобы это самое уравнение обратилось в тождество. |
| | | |
| Самое простое, что можем предполагать, что $(2)$ обращается в верное равенство при $i\equiv\tilde I\sin\omega t$, где $\tilde I$ есть амплитуда этой функции (без нее нет верного равенства, проверьте). Так можем ожидать сокращения синусов и выход на верное равенство. Подставляем $i\equiv\tilde I\sin\omega t$ в $(2)$ и после сокращения на $\sin\omega t$ (так как уравнение должно выполняться при любых $t$) получаем для амплитуды | | Самое простое, что можем предполагать, что $(2)$ обращается в верное равенство при $i\equiv\tilde I\sin\omega t$, где $\tilde I$ есть амплитуда этой функции (без нее нет верного равенства, проверьте). Так можем ожидать сокращения синусов и выход на верное равенство. Подставляем $i\equiv\tilde I\sin\omega t$ в $(2)$ и после сокращения на $\sin\omega t$ (так как уравнение должно выполняться при любых $t$) получаем для амплитуды |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \tilde I=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)} | | \tilde I=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и убеждаемся, что с такой амплитудой подстановка $i\equiv\tilde I\sin\omega t$ в $(2)$ годится. | | и убеждаемся, что с такой амплитудой подстановка $i\equiv\tilde I\sin\omega t$ в $(2)$ годится. |
| | | |
| Значит, | | Значит, |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\tilde\imath=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\sin\omega t.} | | \boxed{\tilde\imath=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\sin\omega t.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Вот оно — частное решение $(2)$. | | Вот оно — частное решение $(2)$. |
| | | |
| Объединяем решения в рамках как сумму и получаем решение диффура $(2)$ | | Объединяем решения в рамках как сумму и получаем решение диффура $(2)$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\sin\omega t+A\cos\omega t+B\sin\omega t. | | i=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\sin\omega t+A\cos\omega t+B\sin\omega t. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Находим постоянные $A,B$. При $t=0$ имеем $i=0$, тогда $A=0$. | | Находим постоянные $A,B$. При $t=0$ имеем $i=0$, тогда $A=0$. |
| | | |
| Теперь для тока | | Теперь для тока |
| | | |
| $$ | | $$ |
| i=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\sin\omega t+B\sin\omega_0 t. | | i=\frac{V_0\omega}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\sin\omega t+B\sin\omega_0 t. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Еще при $t=0$ в $(1)$ имеем $q=0$, тогда $L\left.\frac{di}{dt}\right|_0=V_0\cos\omega\cdot0$, где $\left.\frac{di}{dt}\right|_0$ есть значение производной функции $i(t)$ по $t$ в момент $t=0$. | | Еще при $t=0$ в $(1)$ имеем $q=0$, тогда $L\left.\frac{di}{dt}\right|_0=V_0\cos\omega\cdot0$, где $\left.\frac{di}{dt}\right|_0$ есть значение производной функции $i(t)$ по $t$ в момент $t=0$. |
| | | |
| Сделаем это подробно: | | Сделаем это подробно: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \frac{di}{dt}=\frac{V_0\omega^2}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\cos\omega t+B\omega_0\cos\omega_0 t | | \frac{di}{dt}=\frac{V_0\omega^2}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\cos\omega t+B\omega_0\cos\omega_0 t |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (без фокусов, проверьте). | | (без фокусов, проверьте). |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \left.\frac{di}{dt}\right|_0=\frac{V_0\omega^2}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}+B\omega_0. | | \left.\frac{di}{dt}\right|_0=\frac{V_0\omega^2}{L\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}+B\omega_0. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Уже говорили, что $L\left.\frac{di}{dt}\right|_0=V_0\cos\omega\cdot0$, откуда | | Уже говорили, что $L\left.\frac{di}{dt}\right|_0=V_0\cos\omega\cdot0$, откуда |
| | | |
| $$ | | $$ |
| B=\frac{V_0}{L\omega_0}\left(1-\frac{\omega^2}{\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\right). | | B=\frac{V_0}{L\omega_0}\left(1-\frac{\omega^2}{\left(\omega^2-\omega_0^2\right)}\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Итоговая для $i$ после упрощений: | | Итоговая для $i$ после упрощений: |
| Приведите к ответу Савченко, конечно. | | Приведите к ответу Савченко, конечно. |
| | | |
| Далее, максимум этого тока ищем. Он достигается, когда первый синус окажется равным $1$, а второй синус — равным $-1$. Это возможно, потому что сейчас увидим, что частоты $\omega,\omega_0$ близки: $\omega\approx\omega_0$, но не равны. | | Далее, максимум этого тока ищем. Он достигается, когда первый синус окажется равным $1$, а второй синус — равным $-1$. Это возможно, потому что сейчас увидим, что частоты $\omega,\omega_0$ близки: $\omega\approx\omega_0$, но не равны. |
| | | |
| Считаем: | | Считаем: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \omega=2\pi\nu\approx314~\text{рад/с} | | \omega=2\pi\nu\approx314~\text{рад/с} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и | | и |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=100\sqrt{10}\approx316~\text{рад/с} | | \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=100\sqrt{10}\approx316~\text{рад/с} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (здесь уже не забавляемся вроде $\sqrt{10}\approx\pi$, нет). | | (здесь уже не забавляемся вроде $\sqrt{10}\approx\pi$, нет). |
| | | |
| Как видим частоты близки. При решении, например, задачи $3.4.11$ было наглядно показано, что одновременно с максимумом одной гармонической функции другая гармоническая с близкой частотой сможет оказаться практически во всех фазах, а значит — и с практически любым значением из своей области (см. также $3.4.7$). | | Как видим частоты близки. При решении, например, задачи $3.4.11$ было наглядно показано, что одновременно с максимумом одной гармонической функции другая гармоническая с близкой частотой сможет оказаться практически во всех фазах, а значит — и с практически любым значением из своей области (см. также $3.4.7$). |
| | | |
| Итак, с учетом $\sin\omega t\equiv1$ и $\sin\omega_0 t\equiv-1$ для максимума $(3)$ | | Итак, с учетом $\sin\omega t\equiv1$ и $\sin\omega_0 t\equiv-1$ для максимума $(3)$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| I_\text{m}=\left|\frac{V_0}{L\left(\omega-\omega_0\right)}\right|\approx5~\text{кА}. | | I_\text{m}=\left|\frac{V_0}{L\left(\omega-\omega_0\right)}\right|\approx5~\text{кА}. |
