| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $5.8.5.$ Траектория атома, упруго отражающегося от стенок куба размерами $a \times a \times a$, представляет собой квадрат. Скорость атома равна $v$. | | $5.8.5.$ Траектория атома, упруго отражающегося от стенок куба размерами $a \times a \times a$, представляет собой квадрат. Скорость атома равна $v$. |
| | | |
| | | |
| [a.] С какой средней скоростью будет перемещаться место удара по каждой стенке, если угол падения в плоскости квадрата изменить на $\Delta \ll 1$? При каких значениях $\Delta$ траектория атома будет замкнутой? незамкнутой? Определите расстояние между соседними параллельными участками траекторий в первом и втором случаях. | | [a.] С какой средней скоростью будет перемещаться место удара по каждой стенке, если угол падения в плоскости квадрата изменить на $\Delta \ll 1$? При каких значениях $\Delta$ траектория атома будет замкнутой? незамкнутой? Определите расстояние между соседними параллельными участками траекторий в первом и втором случаях. |
| | | |
| [б.] Почему можно считать, что траектория атома обычно не является замкнутой? Какова вероятность обнаружить атом в квадрате площади $S$, расположенном в плоскости, вдоль которой движется атом, в случае незамкнутой траектории? | | [б.] Почему можно считать, что траектория атома обычно не является замкнутой? Какова вероятность обнаружить атом в квадрате площади $S$, расположенном в плоскости, вдоль которой движется атом, в случае незамкнутой траектории? |
| | | |
| [в.] Как будет двигаться атом, если изменить угол его падения перпендикулярно плоскости квадрата на $\Delta \ll 1$? Какова вероятность обнаружить такой атом в области внутри куба, объём которой равен $V$? | | [в.] Как будет двигаться атом, если изменить угол его падения перпендикулярно плоскости квадрата на $\Delta \ll 1$? Какова вероятность обнаружить такой атом в области внутри куба, объём которой равен $V$? |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| {а.} Заметим, что при отражении просто меняет знак компонента скорости. Можно развернуть скорость, но это рассматривать тяжело. Проще рассмотреть движение в отражённом квадрате!!! Можно отражать квадраты не только горизонтально, но и вертикально, как движение в сетке. Но горизонтально это делать проще всего. | | {а.} Заметим, что при отражении просто меняет знак компонента скорости. Можно развернуть скорость, но это рассматривать тяжело. Проще рассмотреть движение в отражённом квадрате!!! Можно отражать квадраты не только горизонтально, но и вертикально, как движение в сетке. Но горизонтально это делать проще всего. |
| | | |
| На рисунке движение по траектории развёрнуто с помощью зеркальных отражений в движение между двумя параллельными прямыми. Соответствующие точки траекторий отмечены одинаковыми буквами. | | На рисунке движение по траектории развёрнуто с помощью зеркальных отражений в движение между двумя параллельными прямыми. Соответствующие точки траекторий отмечены одинаковыми буквами. |
| | | |
| Нам просто надо, что бы при новом угле за целое количество вертикальных циклов стена-потолок-стена, точка удара прошла целое количество длин стороны горизонтальных. | | Нам просто надо, что бы при новом угле за целое количество вертикальных циклов стена-потолок-стена, точка удара прошла целое количество длин стороны горизонтальных. |
| Из этого рисунка следует: | | Из этого рисунка следует: |
| | | |
| \[ | | \[ |
| v' \approx \frac{x}{2A'B'} v \approx v \Delta \sqrt{2}; \quad \Delta \approx \frac{1}{2} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \Delta \right) - 1 \right] = \frac{k}{2n}, | | v' \approx \frac{x}{2A'B'} v \approx v \Delta \sqrt{2}; \quad \Delta \approx \frac{1}{2} \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \Delta \right) - 1 \right] = \frac{k}{2n}, |
| \] | | \] |
| | | |
| где $k$ и $n$ — целые числа, не имеющие общих делителей, | | где $k$ и $n$ — целые числа, не имеющие общих делителей, |
| | | |
| \[ | | \[ |
| \tan(\pi/4 + \Delta) - 1 = k/n; \quad h_1 \approx 2a \Delta/k, \quad h_2 = 0. | | \tan(\pi/4 + \Delta) - 1 = k/n; \quad h_1 \approx 2a \Delta/k, \quad h_2 = 0. |
| \] | | \] |
| | | |
| {б.} Маловероятно, что $\tan(\pi/4 + \Delta) - 1$ точно равен простой дроби, например 0,03, поскольку вблизи этого числа может быть сколь угодно много других чисел, например чисел вида $0,03 + \sqrt{2}/n$, где $n$ — целое число, которые отличаются от 0,03 на сколь угодно малую величину. Эти числа называются иррациональными, и в математике доказывается, что множество этих чисел мощнее множества простых дробей. Если число иррационально, то траектория не замкнута. | | {б.} Маловероятно, что $\tan(\pi/4 + \Delta) - 1$ точно равен простой дроби, например 0,03, поскольку вблизи этого числа может быть сколь угодно много других чисел, например чисел вида $0,03 + \sqrt{2}/n$, где $n$ — целое число, которые отличаются от 0,03 на сколь угодно малую величину. Эти числа называются иррациональными, и в математике доказывается, что множество этих чисел мощнее множества простых дробей. Если число иррационально, то траектория не замкнута. |
