Решение

Рассмотрим изменение координат черепах за маленький промежуток времени $dt$

За время $dt$ расстояние между соседними черепахами изменилось с $a$ на $a'$

Выразим $a'$ по т.Пифагора

$$a' = \sqrt{(a-dx)^2 - d^2x}$$

С учетом малости величины $dx$

$$a' = \sqrt{a^2 - 2a\, dx}$$

$$a' = a\sqrt{1 - \frac{2dx}{a}}$$

Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x$, где $x\rightarrow 0$:

$$a' = a - dx$$

Таким образом, приращение координаты $a$ равно

$$da = a' - a = -dx$$

Отсюда, скорость изменения расстояния между черепахами равна

$$u = \frac{da}{dt} = -\frac{dx}{dt}=-v$$

Отсюда следует, что через $a=0$, через промежуток времени

$$t = a/v$$

Из симметрии задачи, следует, что все черепахи пройдут одинаковый путь и окажутся в центе квадрата.

NO: Интересно было бы узнать, что было бы если был бы не квадрат? Если было бы не $4$ черепахи, а $n$ штук? Более развернутую версию задачи можно найти в "Очень длинных физических задачах" А.И.Слободянюка(Задача 1)