Правка разделов «Решение», «Ответ»

AnnaN правка от 5 июл. 2026 г., 11:12

Посмотреть решение История

правка #19613 предыдущая #19612 ← раньше

ru/1.5.15.md +2 −2

			### Условие:

			$ 1.5.15.$ Постройте примерный график зависимости скорости точки $B$ от времени, если скорость $v_{a}$ точки $A$ постоянна. Найдите формулу этой зависимости, если $x(0) = 0$.

			![ К задаче $1.5.15$ \|499x301, 42%](../../img/1.5.15/statement.png)

			### Решение:

			![ Распределение скоростей на нитях \|609x339, 51%](../../img/1.5.15/draw.png)

			__NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.14](../1.5.14)

			В момент времени $t$ высота, на которую опустилась точка

			$$
			x = v_A t\\tag{1}
			$$

			Рассмотрим изменение длины нити за маленький промежуток времени $dt$

			$$
			dl = 2 (\\sqrt{L^2 + (x+dx)^2}-\\sqrt{L^2 + x^2})
			$$

			$$
			dl = 2 \\sqrt{L^2 + x^2}\\cdot\\left(\\sqrt{1 + \\frac{2xdx}{L^2 + x^2}}-1\\right)
			$$

			Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\\alpha\\approx 1+\\alpha x$, где $x\\rightarrow 0$:

			$$
			dl =2 \\frac{xdx}{\\sqrt{L^2 + x^2}}
			$$

			Учитывая, что $v_B = \\frac{dl}{dt}$ и $v_A = \\frac{dx}{dt}$

			$$
			v_B = 2 \\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}} \\frac{dx}{dt}
			$$

			$$
			v_B = 2 v_A\\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}}
			$$

		@@ -45,11 +45,11 @@Решение:
			Подставляем $(1):$

			$$
		−	\\fbox{$v_B = 2 \\frac{v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$}
		+	\\fbox{$v_B = \\frac{2v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$}
			$$

			__NO__: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 2)

		−	#### Ответ: $v_B = \\frac{v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$
		+	#### Ответ: $v_B = \\frac{2v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$

	### Условие:		### Условие:

	$ 1.5.15.$ Постройте примерный график зависимости скорости точки $B$ от времени, если скорость $v_{a}$ точки $A$ постоянна. Найдите формулу этой зависимости, если $x(0) = 0$.		$ 1.5.15.$ Постройте примерный график зависимости скорости точки $B$ от времени, если скорость $v_{a}$ точки $A$ постоянна. Найдите формулу этой зависимости, если $x(0) = 0$.

	![ К задаче $1.5.15$ \|499x301, 42%](../../img/1.5.15/statement.png)		![ К задаче $1.5.15$ \|499x301, 42%](../../img/1.5.15/statement.png)

	### Решение:		### Решение:

	![ Распределение скоростей на нитях \|609x339, 51%](../../img/1.5.15/draw.png)		![ Распределение скоростей на нитях \|609x339, 51%](../../img/1.5.15/draw.png)

	__NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.14](../1.5.14)		__NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.14](../1.5.14)

	В момент времени $t$ высота, на которую опустилась точка		В момент времени $t$ высота, на которую опустилась точка

	$$		$$
	x = v_A t\\tag{1}		x = v_A t\\tag{1}
	$$		$$

	Рассмотрим изменение длины нити за маленький промежуток времени $dt$		Рассмотрим изменение длины нити за маленький промежуток времени $dt$

	$$		$$
	dl = 2 (\\sqrt{L^2 + (x+dx)^2}-\\sqrt{L^2 + x^2})		dl = 2 (\\sqrt{L^2 + (x+dx)^2}-\\sqrt{L^2 + x^2})
	$$		$$

	$$		$$
	dl = 2 \\sqrt{L^2 + x^2}\\cdot\\left(\\sqrt{1 + \\frac{2xdx}{L^2 + x^2}}-1\\right)		dl = 2 \\sqrt{L^2 + x^2}\\cdot\\left(\\sqrt{1 + \\frac{2xdx}{L^2 + x^2}}-1\\right)
	$$		$$

	Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\\alpha\\approx 1+\\alpha x$, где $x\\rightarrow 0$:		Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\\alpha\\approx 1+\\alpha x$, где $x\\rightarrow 0$:

	$$		$$
	dl =2 \\frac{xdx}{\\sqrt{L^2 + x^2}}		dl =2 \\frac{xdx}{\\sqrt{L^2 + x^2}}
	$$		$$

	Учитывая, что $v_B = \\frac{dl}{dt}$ и $v_A = \\frac{dx}{dt}$		Учитывая, что $v_B = \\frac{dl}{dt}$ и $v_A = \\frac{dx}{dt}$

	$$		$$
	v_B = 2 \\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}} \\frac{dx}{dt}		v_B = 2 \\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}} \\frac{dx}{dt}
	$$		$$

	$$		$$
	v_B = 2 v_A\\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}}		v_B = 2 v_A\\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}}
	$$		$$

	@@ -45,11 +45,11 @@Решение:
	Подставляем $(1):$		Подставляем $(1):$

	$$		$$
	\\fbox{$v_B = 2 \\frac{v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$}		\\fbox{$v_B = \\frac{2v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$}
	$$		$$

	__NO__: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 2)		__NO__: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 2)

	#### Ответ: $v_B = \\frac{v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$		#### Ответ: $v_B = \\frac{2v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$