$3.8.2.$ Часть стального стержня, длина которого $10~\text{см}$, сжали на тысячную долю его длины и отпустили. Какие бегущие волны возникнут в стержне? Нарисуйте графики распределения деформации стержня и скорости частиц в нем по его длине спустя $5\cdot10^{-6}~\text{с}$ после того, как эту часть стержня отпустили.
### Решение
По идее и результатам задачи $3.8.1$ считаем, что после отпускания процесс в стержне представляется наложением двух расходящихся волн с нулевой начальной скоростью частиц, то есть с нулевой кинетической энергией. Волны одинаковые и деформации в них одинаковы.
Деформация относительная результирующая в начале
$$
\mathscr E=-1\cdot10^{-3},
$$
поэтому из симметрии деформации в частичных волнах
$$
\varepsilon=-0{,}5\cdot10^{-3}.
$$
За время $\tau=5\cdot10^{-6}~\text{с}$ каждая волна пройдет
$$
x=c\tau=2{,}5~\text{см},
$$
где $c=5\cdot10^{3}~\text{м/c}$ есть скорость распространения возмущения в стали (см. задачу $3.6.23$).
@@ -29,10 +29,40 @@Решение
Таким образом, область наложения волн сократится до $5~\text{см}$ и появятся по бокам от нее области с существованием только одной волны размерами по $5~\text{см}$.
−
Из принципа наложения график:
+
Из принципа наложения график распределения деформации:
+
+
Далее, используем выводимый факт для плотностей энергии: во всяком бегущем упругом возмущении, то есть возмущении, распространяющемся в определенном направлении, плотность полной энергия распределяется поровну между плотностью кинетической и плотностью потенциальной [1].
+
Плотности кинетической и потенциальной энергий $w_k=\frac{1}{2}\rho u^2$ и $w_p=\frac{1}{2}E\varepsilon^2$. Значит, пишем их равенство
Учитываем выводимый следующий факт. В бегущей волне сжатия частицы стержня движутся в том же направлении, в каком распространяется само возмущение. Если же возмущение носит характер растяжения, то эти направлениря противоположны [1].
+
+
И показываем график отношения $u/c$ от расстояния $x$:
Разбегающиеся волны деформации с $\varepsilon = -0{,}5\cdot10^{-3}$.
+
+
+
+
### Условие
### Условие
$3.8.2.$ Часть стального стержня, длина которого $10~\text{см}$, сжали на тысячную долю его длины и отпустили. Какие бегущие волны возникнут в стержне? Нарисуйте графики распределения деформации стержня и скорости частиц в нем по его длине спустя $5\cdot10^{-6}~\text{с}$ после того, как эту часть стержня отпустили.
$3.8.2.$ Часть стального стержня, длина которого $10~\text{см}$, сжали на тысячную долю его длины и отпустили. Какие бегущие волны возникнут в стержне? Нарисуйте графики распределения деформации стержня и скорости частиц в нем по его длине спустя $5\cdot10^{-6}~\text{с}$ после того, как эту часть стержня отпустили.
### Решение
### Решение
По идее и результатам задачи $3.8.1$ считаем, что после отпускания процесс в стержне представляется наложением двух расходящихся волн с нулевой начальной скоростью частиц, то есть с нулевой кинетической энергией. Волны одинаковые и деформации в них одинаковы.
По идее и результатам задачи $3.8.1$ считаем, что после отпускания процесс в стержне представляется наложением двух расходящихся волн с нулевой начальной скоростью частиц, то есть с нулевой кинетической энергией. Волны одинаковые и деформации в них одинаковы.
Деформация относительная результирующая в начале
Деформация относительная результирующая в начале
$$
$$
\mathscr E=-1\cdot10^{-3},
\mathscr E=-1\cdot10^{-3},
$$
$$
поэтому из симметрии деформации в частичных волнах
поэтому из симметрии деформации в частичных волнах
$$
$$
\varepsilon=-0{,}5\cdot10^{-3}.
\varepsilon=-0{,}5\cdot10^{-3}.
$$
$$
За время $\tau=5\cdot10^{-6}~\text{с}$ каждая волна пройдет
За время $\tau=5\cdot10^{-6}~\text{с}$ каждая волна пройдет
$$
$$
x=c\tau=2{,}5~\text{см},
x=c\tau=2{,}5~\text{см},
$$
$$
где $c=5\cdot10^{3}~\text{м/c}$ есть скорость распространения возмущения в стали (см. задачу $3.6.23$).
где $c=5\cdot10^{3}~\text{м/c}$ есть скорость распространения возмущения в стали (см. задачу $3.6.23$).
@@ -29,10 +29,40 @@Решение
Таким образом, область наложения волн сократится до $5~\text{см}$ и появятся по бокам от нее области с существованием только одной волны размерами по $5~\text{см}$.
Таким образом, область наложения волн сократится до $5~\text{см}$ и появятся по бокам от нее области с существованием только одной волны размерами по $5~\text{см}$.
Из принципа наложения график:
Из принципа наложения график распределения деформации:
Далее, используем выводимый факт для плотностей энергии: во всяком бегущем упругом возмущении, то есть возмущении, распространяющемся в определенном направлении, плотность полной энергия распределяется поровну между плотностью кинетической и плотностью потенциальной [1].
Плотности кинетической и потенциальной энергий $w_k=\frac{1}{2}\rho u^2$ и $w_p=\frac{1}{2}E\varepsilon^2$. Значит, пишем их равенство
Учитываем выводимый следующий факт. В бегущей волне сжатия частицы стержня движутся в том же направлении, в каком распространяется само возмущение. Если же возмущение носит характер растяжения, то эти направлениря противоположны [1].
И показываем график отношения $u/c$ от расстояния $x$:
