| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $3.8.6.$ Скорость незакрепленного конца стержня из-за прихода волны продольного смещения с нулевого момента времени стала меняться по закону $v = v_0\sin\omega t$. Какова амплитуда смещения? На каких расстояниях от конца стержня образуются узлы и пучности скорости? узлы и пучности давления? | | $3.8.6.$ Скорость незакрепленного конца стержня из-за прихода волны продольного смещения с нулевого момента времени стала меняться по закону $v = v_0\sin\omega t$. Какова амплитуда смещения? На каких расстояниях от конца стержня образуются узлы и пучности скорости? узлы и пучности давления? |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Эта задача есть в общем видоизменение задачи $3.8.4$ на случай свободного конца среды. | | Эта задача есть в общем видоизменение задачи $3.8.4$ на случай свободного конца среды. |
| | | |
| Решим эту задачу как ту, так как много совпадений вопросов. | | Решим эту задачу как ту, так как много совпадений вопросов. |
| | | |
| Считаем конец свободным (называем его границей) и используем прием задачи $3.8.5$ для нахождения результирующей волны после отражения основной падающей волны от свободной границы. | | Считаем конец свободным (называем его границей) и используем прием задачи $3.8.5$ для нахождения результирующей волны после отражения основной падающей волны от свободной границы. |
| | | |
| Получается, что можно считать, что к границе двигается синусоидальная волна падающая, а с другой стороны к границе двигается мнимая волна тоже синусоидальная, как бы отраженная относительно плоскости стены. | | Получается, что можно считать, что к границе двигается синусоидальная волна падающая, а с другой стороны к границе двигается мнимая волна тоже синусоидальная, как бы отраженная относительно плоскости стены. |
| | | |
| Вот рисунок, граница в $x=0$ совпадает с осью $y$, по которой читаем значения смещений волн. | | Вот рисунок, граница в $x=0$ совпадает с осью $y$, по которой читаем значения смещений волн. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Тут к границе слева движется реальная падающая, к границе справа движется мнимая. Они слева от границы в сумме дают результрующую волну. | | Тут к границе слева движется реальная падающая, к границе справа движется мнимая. Они слева от границы в сумме дают результрующую волну. |
| | | |
| Смещение в падающей волне слева направо описывается | | Смещение в падающей волне слева направо описывается |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y=A\sin\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right); | | y=A\sin\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right); |
| $$ | | $$ |
| | | |
| если что: смещение $y$ происходит вдоль направления распространения волны. | | если что: смещение $y$ происходит вдоль направления распространения волны. |
| | | |
| Смещение в мнимой волне справа налево описывается | | Смещение в мнимой волне справа налево описывается |
| | | |
| $$ | | $$ |
| y'=A\sin\left(\omega t+\frac{2\pi}{\lambda}x\right). | | y'=A\sin\left(\omega t+\frac{2\pi}{\lambda}x\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Далее используется учебник Иродова «Волновые процессы». Находим наложение смещений | | Далее используется учебник Иродова «Волновые процессы». Находим наложение смещений |
| | | |
| $$ | | $$ |
| Y=y+y'=2A\sin\omega t\cos\left(-kx\right), | | Y=y+y'=2A\sin\omega t\cos\left(-kx\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $k=2\pi/\lambda$ (использовали тригонометрию). | | где $k=2\pi/\lambda$ (использовали тригонометрию). |
| | | |
| Скорость среды | | Скорость среды |
| | | |
| $$ | | $$ |
| u=\dot Y=2\omega A\cos\omega t\cos\left(-kx\right).\tag{1} | | u=\dot Y=2\omega A\cos\omega t\cos\left(-kx\right).\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Относительное удлинение среды | | Относительное удлинение среды |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \varepsilon=\frac{\partial Y}{\partial x}=2kA\sin\omega t\sin\left(-kx\right). | | \varepsilon=\frac{\partial Y}{\partial x}=2kA\sin\omega t\sin\left(-kx\right). |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Изменение давления (приращение давления и относительное удлинение противоположны по знаку) | | Изменение давления (приращение давления и относительное удлинение противоположны по знаку) |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \Delta P=-E\varepsilon=-\rho c^2\cdot2\frac{2\pi}{\lambda}A\sin\omega t\sin\left(-kx\right), | | \Delta P=-E\varepsilon=-\rho c^2\cdot2\frac{2\pi}{\lambda}A\sin\omega t\sin\left(-kx\right), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| что можно упростить до | | что можно упростить до |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \Delta P=-2\rho c\omega A\sin\omega t\sin\left(-kx\right),\tag{2} | | \Delta P=-2\rho c\omega A\sin\omega t\sin\left(-kx\right),\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| На плоскости границы $x=0$ это дает | | На плоскости границы $x=0$ это дает |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{\Delta P^*=0.} | | \boxed{\Delta P^*=0.} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Откуда видно, что узлы изменения давления (нули) $(2)$ будут на расстояниях $\dfrac{\lambda}{2}k$, где $k$ есть целое. Пучности (максимальные максимумы) получаем на расстояниях $\dfrac{\lambda}{4}+\dfrac{\lambda}{2}k$, аналогично. | | Откуда видно, что узлы изменения давления (нули) $(2)$ будут на расстояниях $\dfrac{\lambda}{2}k$, где $k$ есть целое. Пучности (максимальные максимумы) получаем на расстояниях $\dfrac{\lambda}{4}+\dfrac{\lambda}{2}k$, аналогично. |
| | | |
| Узлы скорости (нули) $(1)$ будут на расстояниях $\dfrac{\lambda}{4}+\dfrac{\lambda}{2}k$, где $k$ есть целое. Пучности (максимальные максимумы) получаем на расстояниях $\dfrac{\lambda}{2}k$, аналогично. | | Узлы скорости (нули) $(1)$ будут на расстояниях $\dfrac{\lambda}{4}+\dfrac{\lambda}{2}k$, где $k$ есть целое. Пучности (максимальные максимумы) получаем на расстояниях $\dfrac{\lambda}{2}k$, аналогично. |
| | | |
| Длина волны $\lambda = 2\pi c/\omega$. Рисунки в ответе. | | Длина волны $\lambda = 2\pi c/\omega$. Рисунки в ответе. |
| | | |
| Амплитуду смещения найдем из $(1)$. На границе $x=0$ из этого уравнения | | Амплитуду смещения найдем из $(1)$. На границе $x=0$ из этого уравнения |
| | | |
| $$ | | $$ |
| u^*=2\omega A\cos\omega t, | | u^*=2\omega A\cos\omega t, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| что смещением начала отсчета времени можно сделать | | что смещением начала отсчета времени можно сделать |
| | | |
| $$ | | $$ |
| u^*=2\omega A\sin\omega t. | | u^*=2\omega A\sin\omega t. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| По условию | | По условию |
| | | |
| $$ | | $$ |
| u^*= v_0\sin\omega t, | | u^*= v_0\sin\omega t, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| откуда, сопоставив две предыдущие формулы | | откуда, сопоставив две предыдущие формулы |
| | | |
| $$ | | $$ |
| A=\frac{v_0}{2\omega}. | | A=\frac{v_0}{2\omega}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| | | |
| #### Литература | | #### Литература |
| | | |
| [1] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015. | | [1] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015. |
| | | |
| [2] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.) | | [2] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.) |
| | | |
| [3] Сивухин. Д.В. Электричество. 1979. (Колебания и волны.) | | [3] Сивухин. Д.В. Электричество. 1979. (Колебания и волны.) |
| | | |
| [4] М.А. Исакович. Общая акустика. 1973. Параграф 41. | | [4] М.А. Исакович. Общая акустика. 1973. Параграф 41. |
| | | |
