Правка разделов «Решение», «Литература», «Ответ»

igor правка от
Посмотреть решение История
правка #19642 предыдущая #19640 ← раньше позже →
ru/3.8.6.md +47 −22
@@ -9,13 +9,13 @@Решение
Решим эту задачу как ту, так как много совпадений вопросов.
−Попробуйте показать (например, модель шаров), что отражение от свободного конца среды меняет знак смещения волны на противоположный (Сивухин). То есть, если на свобоный конец падает пусть прямоугольная для простоты волна сжатия, то отразится волна растяжения (положительный знак сменился отрицательным, например). Ну а волна разрежения, падающая на такой конец, даст отраженную волну сжатия. Далее считаем конец свободным (называем его границей), используем указанный факт изменения характера (знака) смещения в волне после отражения и используем прием задачи $3.8.3$ для нахождения результирующей волны после отражения основной падающей волны.
+Считаем конец свободным (называем его границей) и используем прием задачи $3.8.5$ для нахождения результирующей волны после отражения основной падающей волны от свободной границы.
−Получается, что можно считать, что к границе двигается синусоидальная волна падающая, а с другой стороны к границе двигается мнимая волна тоже синусоидальная, как бы отраженная относительно плоскости стены и отраженная относительно оси распространения волны (вроде копия, повернутая на $180^\circ$ в плокскости чертежа, который будет далее).
+Получается, что можно считать, что к границе двигается синусоидальная волна падающая, а с другой стороны к границе двигается мнимая волна тоже синусоидальная, как бы отраженная относительно плоскости стены.
Вот рисунок, граница в $x=0$ совпадает с осью $y$, по которой читаем значения смещений волн.
−![|1705x771, 50%](../../img/3.8.6/386.png)
+![|1705x766, 50%](../../img/3.8.6/386с.png)
Тут к границе слева движется реальная падающая, к границе справа движется мнимая. Они слева от границы в сумме дают результрующую волну.
@@ -30,66 +30,91 @@Решение
Смещение в мнимой волне справа налево описывается
$$
−y'=A\sin\left(-\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right).
+y'=A\sin\left(\omega t\frac{2\pi}{\lambda}x\right).
$$
−По Сивухину с обобщением на газы в бегущей(!) волне изменение давления связано со скоростью среды (шаров среды как бы)
+Далее используется учебник Иродова «Волновые процессы». Находим наложение смещений
$$
−\Delta P_\text{б}=\rho cv
+Y=y+y'=2A\sin\omega t\cos\left(-kx\right),
$$
−Скорость в каждой волне колеблется как производная по времени колебаний смещения. Для падающей это
+где $k=2\pi/\lambda$ (использовали тригонометрию).
+Скорость среды
+
$$
−v=\dot y=\omega A\cos\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right),
+u=\dot Y=2\omega A\cos\omega t\cos\left(-kx\right).\tag{1}
$$
−для мнимой это
+Относительное удлинение среды
$$
−v'=\dot y'=-\omega A\cos\left(-\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right).
+\varepsilon=\frac{\partial Y}{\partial x}=2kA\sin\omega t\sin\left(-kx\right).
$$
−Это описания волн скорости среды для каждой указанной волны.
+Изменение давления (приращение давления и относительное удлинение противоположны по знаку)
−Суммарное изменение давления
+$$
+\Delta P=-E\varepsilon=-\rho c^2\cdot2\frac{2\pi}{\lambda}A\sin\omega t\sin\left(-kx\right),
+$$
+что можно упростить до
+
$$
−\Delta P=\Delta P_\text{б}+\Delta P'_\text{б}
+\Delta P=-2\rho c\omega A\sin\omega t\sin\left(-kx\right),\tag{2}
$$
−для соответствующих скоростей $v$ и $v'$. Что дает
+На плоскости границы $x=0$ это дает
$$
−\Delta P=\rho c\omega A\left[\cos\left(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right)-\cos\left(-\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}x\right)\right].\tag{1}
+\boxed{\Delta P^*=0.}
$$
−На плоскости стены $x=0$ это дает
+Откуда видно, что узлы изменения давления (нули) $(2)$ будут на расстояниях $\dfrac{\lambda}{2}k$, где $k$ есть целое. Пучности (максимальные максимумы) получаем на расстояниях $\dfrac{\lambda}{4}+\dfrac{\lambda}{2}k$, аналогично.
+Узлы скорости (нули) $(1)$ будут на расстояниях $\dfrac{\lambda}{4}+\dfrac{\lambda}{2}k$, где $k$ есть целое. Пучности (максимальные максимумы) получаем на расстояниях $\dfrac{\lambda}{2}k$, аналогично.
+
+Длина волны $\lambda = 2\pi c/\omega$. Рисунки в ответе.
+
+Амплитуду смещения найдем из $(1)$. На границе $x=0$ из этого уравнения
+
$$
−\boxed{\Delta P=0.}
+u^*=2\omega A\cos\omega t,
$$
−Волны скоростей среды в бегущих волнах падающей и мнимой имеют одинаковые направления, поэтому при сложении в результирующую скорость обе положительны
+что смещением начала отсчета времени можно сделать
$$
−u=v+v'=2\omega A\sin\omega t\sin\frac{2\pi}{\lambda}x
+u^*=2\omega A\sin\omega t.
$$
−(применили тригонометрию).
+По условию
+$$
+u^*= v_0\sin\omega t,
+$$
+откуда, сопоставив две предыдущие формулы
+$$
+A=\frac{v_0}{2\omega}.
+$$
−продолжение...
+#### Литература
+[1] Иродов И.Е. Волновые процессы. 2015.
+[2] Сивухин. Д.В. Механика. 1979. (Механика упругих тел.)
+[3] Сивухин. Д.В. Электричество. 1979. (Колебания и волны.)
+[4] М.А. Исакович. Общая акустика. 1973. Параграф 41.
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$A = v_0/2\omega$. На конце стержня — пучность скорости и узел давления. Первый узел скорости отстоит от конца стержня на расстоянии $\lambda/4$ (см. рис.).
+
+![|602x774, 50%](../../img/3.8.6/386ans.png)