| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $5.9.22.$ Абсолютная теплоизоляция невозможна. На первый взгляд, тепловая мощность 0,1 Вт, поступающая в холодильную камеру из-за несовершенства теплоизоляции, кажется незначительной. Рассчитайте минимальную мощность, которую в этом случае нужно затратить, чтобы поддерживать в камере температуру $10^{-4}$ K при температуре окружающей среды 20 $^{\circ}$C. Проведите аналогичный расчет для бытового холодильника, в камере которого нужно поддерживать температуру −13 $^{\circ}$C. (В установках для получения рекордно низких температур мощность такого «паразитного» притока тепла удается снизить до 0,01 Вт и ниже.) | | $5.9.22.$ Абсолютная теплоизоляция невозможна. На первый взгляд, тепловая мощность 0,1 Вт, поступающая в холодильную камеру из-за несовершенства теплоизоляции, кажется незначительной. Рассчитайте минимальную мощность, которую в этом случае нужно затратить, чтобы поддерживать в камере температуру $10^{-4}$ K при температуре окружающей среды 20 $^{\circ}$C. Проведите аналогичный расчет для бытового холодильника, в камере которого нужно поддерживать температуру −13 $^{\circ}$C. (В установках для получения рекордно низких температур мощность такого «паразитного» притока тепла удается снизить до 0,01 Вт и ниже.) |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
|  | |  |
| Холодильная камера работает по принципу обратной тепловой машины. Паразитное тепло поступает от холодильника к рабочему телу. Для поддержания температуры тела мы совершаем над ним работу и передаем теплоту нагревателю (см. рисунок). | | Холодильная камера работает по принципу обратной тепловой машины. Паразитное тепло поступает от холодильника к рабочему телу. Для поддержания температуры тела мы совершаем над ним работу и передаем теплоту нагревателю (см. рисунок). |
| | | |
| 1) Баланс энергии | | 1) Баланс энергии |
| \[ | | \[ |
| P_{\text{н}} = N + P_{\text{пар}} | | P_{\text{н}} = N + P_{\text{пар}} |
| \] | | \] |
| | | |
| 2) КПД идеальной тепловой машины | | 2) КПД идеальной тепловой машины |
| \[ | | \[ |
| \eta = \frac{N}{P_{\text{н}}} = 1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}} | | \eta = \frac{N}{P_{\text{н}}} = 1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}} |
| \] | | \] |
| | | |
| Подставляя выражение для $P_{\text{н}}$ из баланса энергии: | | Подставляя выражение для $P_{\text{н}}$ из баланса энергии: |
| \[ | | \[ |
| \frac{N}{N + P_{\text{пар}}} = 1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}} | | \frac{N}{N + P_{\text{пар}}} = 1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}} |
| \] | | \] |
| | | |
| \[ | | \[ |
| N = \left(1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}}\right)\left(N + P_{\text{пар}}\right) | | N = \left(1 - \frac{T_{\min}}{T_{\max}}\right)\left(N + P_{\text{пар}}\right) |
| \boxed{N = P_{\text{пар}} \cdot \frac{T_{\max} - T_{\min}}{T_{\min}}} | | \boxed{N = P_{\text{пар}} \cdot \frac{T_{\max} - T_{\min}}{T_{\min}}} |
| \] | | \] |
| | | |
| Численный расчёт | | Численный расчёт |
| | | |
| а) Установка для рекордно низких температур: | | а) Установка для рекордно низких температур: |
| \[ | | \[ |
| N_1 = 0{,}1\ \text{Вт} \cdot \frac{293\ \text{K} - 10^{-4}\ \text{K}}{10^{-4}\ \text{K}} \approx 0{,}29\ \text{МВт} | | N_1 = 0{,}1\ \text{Вт} \cdot \frac{293\ \text{K} - 10^{-4}\ \text{K}}{10^{-4}\ \text{K}} \approx 0{,}29\ \text{МВт} |
| \] | | \] |
| | | |
| б) Бытовой холодильник: | | б) Бытовой холодильник: |
| \[ | | \[ |
| N_2 = 0{,}1\ \text{Вт} \cdot \frac{293\ \text{K} - 260\ \text{K}}{260\ \text{K}} \approx 13\ \text{мВт} | | N_2 = 0{,}1\ \text{Вт} \cdot \frac{293\ \text{K} - 260\ \text{K}}{260\ \text{K}} \approx 13\ \text{мВт} |
| \] | | \] |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| a) $N_1 \approx 0{,}29\ \text{МВт}$\ | | a) $N_1 \approx 0{,}29\ \text{МВт}$\ |
| б) $N_2 \approx 13\ \text{мВт}$ | | б) $N_2 \approx 13\ \text{мВт}$ |
