5.2.11. Представим, что удалось сфотографировать на кинопленку молекулы газа, функция распределения которых по скоростям $f(v)$. а. Найдите функцию распределения «частицы» — изображений молекул газа на экране по скоростям, если увеличение, с которым изображение на кинопленке проецируется на экран, равно $l$. б. Кинопленку при воспроизведении записи начали прокручивать в $k$ раз быстрее, чем при съемке. Найдите функцию распределения «частиц» по скоростям в этом случае.
Решение
а. Скорость частиц при увеличении проекции на экран в $l$ раз будет в $l$ раз больше, а значит: $$v' = lv,$$ $$v = \frac{v'}{l},$$ $$dv = \frac{1}{l} dv'.$$ Так как число молекул на экране обязано быть тем же самым, что и в действительности, используя распределение Максвелла $dN = Nf(v)dv$, получим: $$f(v')dv' = f(v)dv,$$ $$f(v')dv' = \frac{1}{l} f\left(\frac{v'}{l}\right) dv',$$ $$f(v') = \frac{1}{l} f\left(\frac{v'}{l}\right).$$ б. При увеличении прокрутки пленки в $k$ раз время ускоряется в $k$ раз, а значит скорость также будет увеличена в $k$ раз. С учетом увеличения скорости от проекции на экран, итоговый коэффициент увеличения $kl$. По аналогии, используя распределение Максвелла, получим:$$f(v') = \frac{1}{kl} f\left(\frac{v'}{kl}\right).$$
Ответ
а. $f(v') = \frac{1}{l} f\left(\frac{v'}{l}\right),$ б. $f(v') = \frac{1}{kl} f\left(\frac{v'}{kl}\right).$