$7.2.9.$ Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы $V \ll V_0$?
@@ -4,60 +4,59 @@Условие
### Решение
−
В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: модель представляет собой равномерно заряженную сферическую полость (пустую внутри оболочку), весь заряд которой сосредоточен на поверхности и у которой есть 2 небольших отверстия для пролета пучка заряженных частиц.
+
В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: модель представляет собой равномерно заряженную пустую сферическую оболочку, весь заряд которой сосредоточен на поверхности, с двумя небольшими отверстиями для пролета пучка.
−
#### 1. Модель задачи
+
#### 1. Физическая модель и принцип суперпозиции
−
Для начала обоснуем, почему продольную скорость частиц $v$ можно считать неизменной. Начальная кинетическая энергия частиц равна $qV_0$. При пролете сквозь поле заряженной сферы энергия частицы изменяется на величину порядка $qV$. Поскольку по условию $V \ll V_0$, изменение энергии $qV \ll qV_0$ является пренебрежимо малым. Мы вправе считать, что частица летит через всю систему с постоянной продольной скоростью $v$.
−
Для расчета электрических полей применим "принцип суперпозиции". Представим реальную оболочку с двумя отверстиями как наложение двух систем:
−
1. Идеальная сплошная заряженная сфера с поверхностной плотностью $\sigma$.
−
2. Два небольших диска с плотностью заряда $-\sigma$, расположенных в местах входного и выходного отверстий (они «вырезают» дырки в сплошной сфере).
+
Поскольку $V \ll V_0$, изменение продольной кинетической энергии пучка пренебрежимо мало ($qV \ll qV_0$). Скорость частиц $v$ вдоль оси можно считать постоянной. Кроме того, учитывая огромную скорость пучка и традиционные допущения подобных задач, мы пренебрегаем влиянием внешнего рассеивающего поля на больших расстояниях от сферы, фокусируя внимание только на резких локальных «толчках» поля непосредственно в отверстиях (эффект апертурной линзы).
−
Поле внутри идеальной сплошной сферы строго равно нулю. Следовательно, всё электрическое поле внутри полости создается исключительно этими двумя локальными дисками. Поле каждого диска максимально вблизи самого отверстия и стремительно затухает при удалении от него. Поэтому изменение импульса частицы происходит не плавно, а в виде двух резких «толчков» в моменты прохождения сквозь отверстия.
+
Для строгого расчета локальных полей применим принцип суперпозиции. Представим реальную оболочку с двумя отверстиями как наложение двух идеальных систем:
+
1. Идеальная сплошная заряженная сфера с поверхностной плотностью $+\sigma$.
+
2. Два «виртуальных» диска с плотностью заряда $-\sigma$, расположенных строго в местах входного и выходного отверстий.
+
Внутри идеальной сплошной сферы электрическое поле строго равно нулю. Следовательно, всё фокусирующее поперечное поле внутри полости вблизи отверстий создается исключительно этими двумя виртуальными дисками с зарядом $-\sigma$.
+
#### 2. Первый поперечный импульс на входе
−
Пусть частица летит на расстоянии $x$ от оси симметрии пучка ($x \ll R$). Чтобы найти суммарный поперечный импульс, полученный при прохождении первого отверстия, применим теорему Гаусса. Выделим мысленный цилиндр радиуса $x$, ось которого совпадает с траекторией частицы, охватывающий только область первого отверстия (от пространства далеко снаружи до области достаточно глубоко внутри полости, где поле первого диска уже затухло).
+
Пусть частица летит на расстоянии $x$ от оси симметрии пучка ($x \ll R$). Найдем поперечный импульс, полученный от локального поля первого отверстия.
−
Цилиндр вырезает из заряженной оболочки площадку с зарядом $\Delta q_1 = \pi x^2 \sigma$.
+
Выделим малый гауссов цилиндр радиуса $x$ и толщиной $dz$, охватывающий только саму область входного отверстия. В рамках нашей математической модели суперпозиции внутри этого цилиндра находится заряд виртуального диска по модулю равный $|\Delta q| = \pi x^2 \sigma$. Отрицательный знак этого эффективного заряда означает, что поле направлено к оси (создает фокусирующий эффект).
+
По теореме Гаусса поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра:
−
$$ 2\pi x \int_{1} E_\perp dz = \frac{\pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0}$$
+
$$ 2\pi x \int E_\perp dz = \frac{\pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0}$$
−
Отсюда интеграл поперечного поля в зоне первого отверстия:
Получив первый поперечный импульс, частица летит вглубь полости. У нее появляется поперечная скорость $v_\perp = \frac{p_{\perp 1}}{m}$, направленная к оси пучка.
+
Получив первый поперечный импульс, частица летит вглубь полости, приобретя поперечную скорость $v_\perp = \frac{p_{\perp 1}}{m}$, направленную к оси пучка.
−
Время, за которое частица долетела бы до оси, равно $t = \frac{x}{v_\perp}$. За это же время по горизонтали она пролетит расстояние $f_1$ (фокусное расстояние после первого отверстия):
−
$$f_1 = vt = v \frac{x}{v_\perp} = x \frac{v}{v_\perp} = x \frac{mv}{p_{\perp 1}}$$
+
Время долета до оси равно $t = \frac{x}{v_\perp}$. Фокусное расстояние после первого отверстия $f_1$:
+
$$f_1 = vt = v \frac{x}{v_\perp} = x \frac{mv}{p_{\perp 1}} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v}} = \frac{2mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$
По условию$V \ll V_0$, а значит,$f_1 \gg R$. Пучок летит слишком быстро и не успевает сфокусироваться внутри полости. Частицы долетают до выходного отверстия практически на том же расстоянии $x$ от оси.
+
Так как $V \ll V_0$, то $f_1 \gg R$. Пучок летит слишком быстро и не успевает сфокусироваться внутри полости, достигая выходного отверстия практически на том же расстоянии $x$ от оси.
#### 4. Второй импульс и итоговое фокусное расстояние
−
Пролетая сквозь выходное отверстие на удалении $x$, частица пересекает локальное поле второго «вырезанного» диска и получает второй, абсолютно такой же поперечный импульс:
+
Пролетая выходное отверстие, частица пересекает локальное поле второго виртуального диска ($-\sigma$) и получает аналогичный поперечный импульс, направленный к оси:
$$ f = x \frac{mv}{p_\perp} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$
−
Снова подставляя $mv^2 = 2qV_0$ и $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$, получаем окончательный ответ:
+
Подставляя $mv^2 = 2qV_0$ и $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$, получаем окончательный ответ для пустой сферической оболочки:
$$ f = \frac{(2qV_0) \varepsilon_0}{q \left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 2R \frac{V_0}{V}$$
#### Ответ
$$f=2R\frac{V_0}{V}$$
*Примечание: Данный результат является строгим следствием для пустой сферической оболочки. Ответ в самом задачнике вероятно получен для альтернативной модели — сплошного заряженного шара, в котором проделан сквозной цилиндрический канал.*
ещё строк без изменений 3
### Условие
### Условие
$7.2.9.$ Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы $V \ll V_0$?
$7.2.9.$ Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы $V \ll V_0$?
@@ -4,60 +4,59 @@Условие
### Решение
### Решение
В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: модель представляет собой равномерно заряженную сферическую полость (пустую внутри оболочку), весь заряд которой сосредоточен на поверхности и у которой есть 2 небольших отверстия для пролета пучка заряженных частиц.
В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: модель представляет собой равномерно заряженную пустую сферическую оболочку, весь заряд которой сосредоточен на поверхности, с двумя небольшими отверстиями для пролета пучка.
#### 1. Модель задачи
#### 1. Физическая модель и принцип суперпозиции
Для начала обоснуем, почему продольную скорость частиц $v$ можно считать неизменной. Начальная кинетическая энергия частиц равна $qV_0$. При пролете сквозь поле заряженной сферы энергия частицы изменяется на величину порядка $qV$. Поскольку по условию $V \ll V_0$, изменение энергии $qV \ll qV_0$ является пренебрежимо малым. Мы вправе считать, что частица летит через всю систему с постоянной продольной скоростью $v$.
Поскольку $V \ll V_0$, изменение продольной кинетической энергии пучка пренебрежимо мало ($qV \ll qV_0$). Скорость частиц $v$ вдоль оси можно считать постоянной. Кроме того, учитывая огромную скорость пучка и традиционные допущения подобных задач, мы пренебрегаем влиянием внешнего рассеивающего поля на больших расстояниях от сферы, фокусируя внимание только на резких локальных «толчках» поля непосредственно в отверстиях (эффект апертурной линзы).
Для расчета электрических полей применим "принцип суперпозиции". Представим реальную оболочку с двумя отверстиями как наложение двух систем:
1. Идеальная сплошная заряженная сфера с поверхностной плотностью $\sigma$.
2. Два небольших диска с плотностью заряда $-\sigma$, расположенных в местах входного и выходного отверстий (они «вырезают» дырки в сплошной сфере).
Поле внутри идеальной сплошной сферы строго равно нулю. Следовательно, всё электрическое поле внутри полости создается исключительно этими двумя локальными дисками. Поле каждого диска максимально вблизи самого отверстия и стремительно затухает при удалении от него. Поэтому изменение импульса частицы происходит не плавно, а в виде двух резких «толчков» в моменты прохождения сквозь отверстия.
Для строгого расчета локальных полей применим принцип суперпозиции. Представим реальную оболочку с двумя отверстиями как наложение двух идеальных систем:
1. Идеальная сплошная заряженная сфера с поверхностной плотностью $+\sigma$.
2. Два «виртуальных» диска с плотностью заряда $-\sigma$, расположенных строго в местах входного и выходного отверстий.
Внутри идеальной сплошной сферы электрическое поле строго равно нулю. Следовательно, всё фокусирующее поперечное поле внутри полости вблизи отверстий создается исключительно этими двумя виртуальными дисками с зарядом $-\sigma$.
#### 2. Первый поперечный импульс на входе
#### 2. Первый поперечный импульс на входе
Пусть частица летит на расстоянии $x$ от оси симметрии пучка ($x \ll R$). Чтобы найти суммарный поперечный импульс, полученный при прохождении первого отверстия, применим теорему Гаусса. Выделим мысленный цилиндр радиуса $x$, ось которого совпадает с траекторией частицы, охватывающий только область первого отверстия (от пространства далеко снаружи до области достаточно глубоко внутри полости, где поле первого диска уже затухло).
Пусть частица летит на расстоянии $x$ от оси симметрии пучка ($x \ll R$). Найдем поперечный импульс, полученный от локального поля первого отверстия.
Цилиндр вырезает из заряженной оболочки площадку с зарядом $\Delta q_1 = \pi x^2 \sigma$.
Выделим малый гауссов цилиндр радиуса $x$ и толщиной $dz$, охватывающий только саму область входного отверстия. В рамках нашей математической модели суперпозиции внутри этого цилиндра находится заряд виртуального диска по модулю равный $|\Delta q| = \pi x^2 \sigma$. Отрицательный знак этого эффективного заряда означает, что поле направлено к оси (создает фокусирующий эффект).
По теореме Гаусса поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра:
По теореме Гаусса поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра:
$$ 2\pi x \int_{1} E_\perp dz = \frac{\pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0}$$
$$ 2\pi x \int E_\perp dz = \frac{\pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0}$$
Отсюда интеграл поперечного поля в зоне первого отверстия:
Отсюда интеграл поперечного поля в зоне локального отверстия:
Получив первый поперечный импульс, частица летит вглубь полости. У нее появляется поперечная скорость $v_\perp = \frac{p_{\perp 1}}{m}$, направленная к оси пучка.
Получив первый поперечный импульс, частица летит вглубь полости, приобретя поперечную скорость $v_\perp = \frac{p_{\perp 1}}{m}$, направленную к оси пучка.
Время, за которое частица долетела бы до оси, равно $t = \frac{x}{v_\perp}$. За это же время по горизонтали она пролетит расстояние $f_1$ (фокусное расстояние после первого отверстия):
Время долета до оси равно $t = \frac{x}{v_\perp}$. Фокусное расстояние после первого отверстия $f_1$:
$$f_1 = vt = v \frac{x}{v_\perp} = x \frac{v}{v_\perp} = x \frac{mv}{p_{\perp 1}}$$
$$f_1 = vt = v \frac{x}{v_\perp} = x \frac{mv}{p_{\perp 1}} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v}} = \frac{2mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$
Подставляем найденный импульс:
Кинетическая энергия задается ускоряющим напряжением: $mv^2 = 2qV_0$.
По условию$V \ll V_0$, а значит,$f_1 \gg R$. Пучок летит слишком быстро и не успевает сфокусироваться внутри полости. Частицы долетают до выходного отверстия практически на том же расстоянии $x$ от оси.
Так как $V \ll V_0$, то $f_1 \gg R$. Пучок летит слишком быстро и не успевает сфокусироваться внутри полости, достигая выходного отверстия практически на том же расстоянии $x$ от оси.
#### 4. Второй импульс и итоговое фокусное расстояние
#### 4. Второй импульс и итоговое фокусное расстояние
Пролетая сквозь выходное отверстие на удалении $x$, частица пересекает локальное поле второго «вырезанного» диска и получает второй, абсолютно такой же поперечный импульс:
Пролетая выходное отверстие, частица пересекает локальное поле второго виртуального диска ($-\sigma$) и получает аналогичный поперечный импульс, направленный к оси:
$$ f = x \frac{mv}{p_\perp} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$
$$ f = x \frac{mv}{p_\perp} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$
Снова подставляя $mv^2 = 2qV_0$ и $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$, получаем окончательный ответ:
Подставляя $mv^2 = 2qV_0$ и $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$, получаем окончательный ответ для пустой сферической оболочки:
$$ f = \frac{(2qV_0) \varepsilon_0}{q \left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 2R \frac{V_0}{V}$$
$$ f = \frac{(2qV_0) \varepsilon_0}{q \left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 2R \frac{V_0}{V}$$
#### Ответ
#### Ответ
$$f=2R\frac{V_0}{V}$$
$$f=2R\frac{V_0}{V}$$
*Примечание: Данный результат является строгим следствием для пустой сферической оболочки. Ответ в самом задачнике вероятно получен для альтернативной модели — сплошного заряженного шара, в котором проделан сквозной цилиндрический канал.*
*Примечание: Данный результат является строгим следствием для пустой сферической оболочки. Ответ в самом задачнике вероятно получен для альтернативной модели — сплошного заряженного шара, в котором проделан сквозной цилиндрический канал.*
