$7.2.9.$ Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы $V \ll V_0$?
@@ -5,62 +5,73 @@Условие
### Решение
В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: модель представляет собой равномерно заряженную пустую сферическую оболочку, весь заряд которой сосредоточен на поверхности, с двумя небольшими отверстиями для пролета пучка.
−
−
#### 1. Физическая модель и принцип суперпозиции
+
+
<b>1. Физическая модель и принцип суперпозиции</b>\
Поскольку $V \ll V_0$, изменение продольной кинетической энергии пучка пренебрежимо мало ($qV \ll qV_0$). Скорость частиц $v$ вдоль оси можно считать постоянной. Кроме того, учитывая огромную скорость пучка и традиционные допущения подобных задач, мы пренебрегаем влиянием внешнего рассеивающего поля на больших расстояниях от сферы, фокусируя внимание только на резких локальных «толчках» поля непосредственно в отверстиях (эффект апертурной линзы).
−
Для строгого расчета локальных полей применим принцип суперпозиции. Представим реальную оболочку с двумя отверстиями как наложение двух идеальных систем:
1. Идеальная сплошная заряженная сфера с поверхностной плотностью $+\sigma$.
2. Два «виртуальных» диска с плотностью заряда $-\sigma$, расположенных строго в местах входного и выходного отверстий.
−
Внутри идеальной сплошной сферы электрическое поле строго равно нулю. Следовательно, всё фокусирующее поперечное поле внутри полости вблизи отверстий создается исключительно этими двумя виртуальными дисками с зарядом $-\sigma$.
−
#### 2. Первый поперечный импульс на входе
−
−
Пусть частица летит на расстоянии $x$ от оси симметрии пучка ($x \ll R$). Найдем поперечный импульс, полученный от локального поля первого отверстия.
−
−
Выделим малый гауссов цилиндр радиуса $x$ и толщиной $dz$, охватывающий только саму область входного отверстия. В рамках нашей математической модели суперпозиции внутри этого цилиндра находится заряд виртуального диска по модулю равный $|\Delta q| = \pi x^2 \sigma$. Отрицательный знак этого эффективного заряда означает, что поле направлено к оси (создает фокусирующий эффект).
−
+
<b>2. Первый поперечный импульс на входе</b>\
+
Пусть частица летит на расстоянии $x$ от оси симметрии пучка ($x \ll R$). Найдем поперечный импульс, полученный от локального поля первого отверстия.
+
Выделим малый гауссов цилиндр радиуса $x$ и толщиной $dz$, охватывающий только саму область входного отверстия. В рамках нашей математической модели суперпозиции внутри этого цилиндра находится заряд виртуального диска, по модулю равный $|\Delta q| = \pi x^2 \sigma$. Отрицательный знак этого эффективного заряда означает, что поле направлено к оси (создает фокусирующий эффект).
По теореме Гаусса поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра:
$$ 2\pi x \int E_\perp dz = \frac{\pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0}$$
−
Отсюда интеграл поперечного поля в зоне локального отверстия:
Получив первый поперечный импульс, частица летит вглубь полости, приобретя поперечную скорость $v_\perp = \frac{p_{\perp 1}}{m}$, направленную к оси пучка.
−
+
<b>3. Проверка фокусировки внутри полости</b>\
+
Получив первый поперечный импульс, частица летит вглубь полости, приобретя поперечную скорость $v_\perp = \frac{p_{\perp 1}}{m}$, направленную к оси пучка.
Время долета до оси равно $t = \frac{x}{v_\perp}$. Фокусное расстояние после первого отверстия $f_1$:
−
$$f_1 = vt = v \frac{x}{v_\perp} = x \frac{mv}{p_{\perp 1}} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v}} = \frac{2mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$
−
−
Кинетическая энергия задается ускоряющим напряжением: $mv^2 = 2qV_0$.
+
$$f_1 = vt = v \frac{x}{v_\perp} = x \frac{mv}{p_{\perp 1}} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v}} = \frac{2 m v^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$
+
Кинетическая энергия задается ускоряющим напряжением: $mv^2 = 2qV_0$.
Потенциал сферы $V = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$, откуда $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$.
Так как $V \ll V_0$, то $f_1 \gg R$. Пучок летит слишком быстро и не успевает сфокусироваться внутри полости, достигая выходного отверстия практически на том же расстоянии $x$ от оси.
−
#### 4. Второй импульс и итоговое фокусное расстояние
−
+
<b>4. Второй импульс и итоговое фокусное расстояние</b>\
Пролетая выходное отверстие, частица пересекает локальное поле второго виртуального диска ($-\sigma$) и получает аналогичный поперечный импульс, направленный к оси:
$$ f = x \frac{mv}{p_\perp} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$
−
+
$$ f = x \frac{mv}{p_\perp} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$
Подставляя $mv^2 = 2qV_0$ и $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$, получаем окончательный ответ для пустой сферической оболочки:
−
$$ f = \frac{(2qV_0)\varepsilon_0}{q\left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 2R \frac{V_0}{V}$$
+
$$ f = \frac{(2qV_0)\varepsilon_0}{q\left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 2R \frac{V_0}{V}$$
+
---
+
+
<b>5. Строгий расчет для альтернативной модели (сплошной шар)</b><br>
+
В официальном задачнике приведен ответ $f = 0.5 R \frac{V_0}{V}$. Этот ответ не только относится к другой физической модели (сплошной заряженный шар, простреливаемый насквозь, вместо полой оболочки), но и содержит грубую ошибку. Выведем точный ответ для сплошного шара.
+
+
Если пучок проходит от $-\infty$ до $+\infty$ сквозь <b>сплошной</b> заряженный шар с объемной плотностью $\rho$, необходимо учесть действие поля на всем пути (как внутри, так и снаружи шара). Выделим бесконечную гауссову цилиндрическую трубку тока малого радиуса $x$, коаксиальную с пучком. Внутри этой трубки заряд находится только в пределах самого шара (на отрезке $[-R, R]$).
Теперь необходимо строго выразить потенциал в центре сплошного шара $V$ через $\rho$. Для этого проинтегрируем радиальное поле $E(r)$ от бесконечности до центра:
+
Вне шара ($r > R$): $E_{out} = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$
+
Внутри шара ($r < R$): $E_{in} = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$
+
$$ V = \int_{0}^{\infty} E(r) dr = \int_{0}^{R}\frac{\rho r}{3\varepsilon_0} dr + \int_{R}^{\infty}\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2} dr $$
<i>(Авторы задачника получили неверный коэффициент 0.5 исключительно потому, что на последнем этапе вместо потенциала шара ошибочно использовали формулу разности потенциалов для бесконечного сплошного цилиндра $V = \frac{\rho R^2}{4\varepsilon_0}$).</i>
+
#### Ответ
−
$$f=2R\frac{V_0}{V}$$
+
Для сферической полости: $$f = 2R\frac{V_0}{V}$$
−
<i>Примечание: Данный результат является строгим следствием для пустой сферической оболочки. Ответ в самом задачнике вероятно получен для альтернативной модели — сплошного заряженного шара, в котором проделан сквозной цилиндрический канал.
+
Для сплошного шара: $$f = R \frac{V_0}{V}$$
+
<i>Примечание: Ответ в самом задачнике $0.5 R\frac{V_0}{V}$ получен из-за ошибочного применения формулы потенциала бесконечного цилиндра к сплошному шару.</i>
### Условие
### Условие
$7.2.9.$ Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы $V \ll V_0$?
$7.2.9.$ Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $V_0$, проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в центре сферы $V \ll V_0$?
@@ -5,62 +5,73 @@Условие
### Решение
### Решение
В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: модель представляет собой равномерно заряженную пустую сферическую оболочку, весь заряд которой сосредоточен на поверхности, с двумя небольшими отверстиями для пролета пучка.
В данном решении задача рассматривается в строгом соответствии с текстом условия: модель представляет собой равномерно заряженную пустую сферическую оболочку, весь заряд которой сосредоточен на поверхности, с двумя небольшими отверстиями для пролета пучка.
#### 1. Физическая модель и принцип суперпозиции
<b>1. Физическая модель и принцип суперпозиции</b>\
Поскольку $V \ll V_0$, изменение продольной кинетической энергии пучка пренебрежимо мало ($qV \ll qV_0$). Скорость частиц $v$ вдоль оси можно считать постоянной. Кроме того, учитывая огромную скорость пучка и традиционные допущения подобных задач, мы пренебрегаем влиянием внешнего рассеивающего поля на больших расстояниях от сферы, фокусируя внимание только на резких локальных «толчках» поля непосредственно в отверстиях (эффект апертурной линзы).
Поскольку $V \ll V_0$, изменение продольной кинетической энергии пучка пренебрежимо мало ($qV \ll qV_0$). Скорость частиц $v$ вдоль оси можно считать постоянной. Кроме того, учитывая огромную скорость пучка и традиционные допущения подобных задач, мы пренебрегаем влиянием внешнего рассеивающего поля на больших расстояниях от сферы, фокусируя внимание только на резких локальных «толчках» поля непосредственно в отверстиях (эффект апертурной линзы).
Для строгого расчета локальных полей применим принцип суперпозиции. Представим реальную оболочку с двумя отверстиями как наложение двух идеальных систем:
Для строгого расчета локальных полей применим принцип суперпозиции. Представим реальную оболочку с двумя отверстиями как наложение двух идеальных систем:
1. Идеальная сплошная заряженная сфера с поверхностной плотностью $+\sigma$.
1. Идеальная сплошная заряженная сфера с поверхностной плотностью $+\sigma$.
2. Два «виртуальных» диска с плотностью заряда $-\sigma$, расположенных строго в местах входного и выходного отверстий.
2. Два «виртуальных» диска с плотностью заряда $-\sigma$, расположенных строго в местах входного и выходного отверстий.
Внутри идеальной сплошной сферы электрическое поле строго равно нулю. Следовательно, всё фокусирующее поперечное поле внутри полости вблизи отверстий создается исключительно этими двумя виртуальными дисками с зарядом $-\sigma$.
Внутри идеальной сплошной сферы электрическое поле строго равно нулю. Следовательно, всё фокусирующее поперечное поле внутри полости вблизи отверстий создается исключительно этими двумя виртуальными дисками с зарядом $-\sigma$.
#### 2. Первый поперечный импульс на входе
<b>2. Первый поперечный импульс на входе</b>\
Пусть частица летит на расстоянии $x$ от оси симметрии пучка ($x \ll R$). Найдем поперечный импульс, полученный от локального поля первого отверстия.
Пусть частица летит на расстоянии $x$ от оси симметрии пучка ($x \ll R$). Найдем поперечный импульс, полученный от локального поля первого отверстия.
Выделим малый гауссов цилиндр радиуса $x$ и толщиной $dz$, охватывающий только саму область входного отверстия. В рамках нашей математической модели суперпозиции внутри этого цилиндра находится заряд виртуального диска, по модулю равный $|\Delta q| = \pi x^2 \sigma$. Отрицательный знак этого эффективного заряда означает, что поле направлено к оси (создает фокусирующий эффект).
Выделим малый гауссов цилиндр радиуса $x$ и толщиной $dz$, охватывающий только саму область входного отверстия. В рамках нашей математической модели суперпозиции внутри этого цилиндра находится заряд виртуального диска по модулю равный $|\Delta q| = \pi x^2 \sigma$. Отрицательный знак этого эффективного заряда означает, что поле направлено к оси (создает фокусирующий эффект).
По теореме Гаусса поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра:
По теореме Гаусса поток вектора напряженности через боковую поверхность этого цилиндра:
$$ 2\pi x \int E_\perp dz = \frac{\pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0}$$
$$ 2\pi x \int E_\perp dz = \frac{\pi x^2 \sigma}{\varepsilon_0}$$
Отсюда интеграл поперечного поля в зоне локального отверстия:
Отсюда интеграл поперечного поля в зоне локального отверстия:
Получив первый поперечный импульс, частица летит вглубь полости, приобретя поперечную скорость $v_\perp = \frac{p_{\perp 1}}{m}$, направленную к оси пучка.
Получив первый поперечный импульс, частица летит вглубь полости, приобретя поперечную скорость $v_\perp = \frac{p_{\perp 1}}{m}$, направленную к оси пучка.
Время долета до оси равно $t = \frac{x}{v_\perp}$. Фокусное расстояние после первого отверстия $f_1$:
Время долета до оси равно $t = \frac{x}{v_\perp}$. Фокусное расстояние после первого отверстия $f_1$:
$$f_1 = vt = v \frac{x}{v_\perp} = x \frac{mv}{p_{\perp 1}} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v}} = \frac{2mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$
$$f_1 = vt = v \frac{x}{v_\perp} = x \frac{mv}{p_{\perp 1}} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{2\varepsilon_0 v}} = \frac{2 m v^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$
Кинетическая энергия задается ускоряющим напряжением: $mv^2 = 2qV_0$.
Кинетическая энергия задается ускоряющим напряжением: $mv^2 = 2qV_0$.
Потенциал сферы $V = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$, откуда $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$.
Потенциал сферы $V = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$, откуда $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$.
Так как $V \ll V_0$, то $f_1 \gg R$. Пучок летит слишком быстро и не успевает сфокусироваться внутри полости, достигая выходного отверстия практически на том же расстоянии $x$ от оси.
Так как $V \ll V_0$, то $f_1 \gg R$. Пучок летит слишком быстро и не успевает сфокусироваться внутри полости, достигая выходного отверстия практически на том же расстоянии $x$ от оси.
#### 4. Второй импульс и итоговое фокусное расстояние
<b>4. Второй импульс и итоговое фокусное расстояние</b>\
Пролетая выходное отверстие, частица пересекает локальное поле второго виртуального диска ($-\sigma$) и получает аналогичный поперечный импульс, направленный к оси:
Пролетая выходное отверстие, частица пересекает локальное поле второго виртуального диска ($-\sigma$) и получает аналогичный поперечный импульс, направленный к оси:
$$ f = x \frac{mv}{p_\perp} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$
$$ f = x \frac{mv}{p_\perp} = x \frac{mv}{\frac{q \sigma x}{\varepsilon_0 v}} = \frac{mv^2 \varepsilon_0}{q \sigma}$$
Подставляя $mv^2 = 2qV_0$ и $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$, получаем окончательный ответ для пустой сферической оболочки:
Подставляя $mv^2 = 2qV_0$ и $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{R}$, получаем окончательный ответ для пустой сферической оболочки:
$$ f = \frac{(2qV_0)\varepsilon_0}{q\left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 2R \frac{V_0}{V}$$
$$ f = \frac{(2qV_0)\varepsilon_0}{q\left(\frac{\varepsilon_0 V}{R}\right)} = 2R \frac{V_0}{V}$$
---
<b>5. Строгий расчет для альтернативной модели (сплошной шар)</b><br>
В официальном задачнике приведен ответ $f = 0.5 R \frac{V_0}{V}$. Этот ответ не только относится к другой физической модели (сплошной заряженный шар, простреливаемый насквозь, вместо полой оболочки), но и содержит грубую ошибку. Выведем точный ответ для сплошного шара.
Если пучок проходит от $-\infty$ до $+\infty$ сквозь <b>сплошной</b> заряженный шар с объемной плотностью $\rho$, необходимо учесть действие поля на всем пути (как внутри, так и снаружи шара). Выделим бесконечную гауссову цилиндрическую трубку тока малого радиуса $x$, коаксиальную с пучком. Внутри этой трубки заряд находится только в пределах самого шара (на отрезке $[-R, R]$).
Теперь необходимо строго выразить потенциал в центре сплошного шара $V$ через $\rho$. Для этого проинтегрируем радиальное поле $E(r)$ от бесконечности до центра:
Вне шара ($r > R$): $E_{out} = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}$
Внутри шара ($r < R$): $E_{in} = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$
$$ V = \int_{0}^{\infty} E(r) dr = \int_{0}^{R}\frac{\rho r}{3\varepsilon_0} dr + \int_{R}^{\infty}\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2} dr $$
<i>(Авторы задачника получили неверный коэффициент 0.5 исключительно потому, что на последнем этапе вместо потенциала шара ошибочно использовали формулу разности потенциалов для бесконечного сплошного цилиндра $V = \frac{\rho R^2}{4\varepsilon_0}$).</i>
#### Ответ
#### Ответ
$$f=2R\frac{V_0}{V}$$
Для сферической полости: $$f = 2R\frac{V_0}{V}$$
<i>Примечание: Данный результат является строгим следствием для пустой сферической оболочки. Ответ в самом задачнике вероятно получен для альтернативной модели — сплошного заряженного шара, в котором проделан сквозной цилиндрический канал.
Для сплошного шара: $$f = R \frac{V_0}{V}$$
<i>Примечание: Ответ в самом задачнике $0.5 R\frac{V_0}{V}$ получен из-за ошибочного применения формулы потенциала бесконечного цилиндра к сплошному шару.</i>
