Решение

В условии строго сказано, что заряд находится «на сфере», а не «в шаре». Это означает, что мы рассматриваем именно поверхностное распределение заряда.

Разобьем полный заряд $Q$ на элементарные точечные заряды $dq$, расположенные на сфере.

1. Потенциал в центре сферы

Потенциал, создаваемый каждым элементом $dq$ в центре сферы, равен:
$$dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{R}$$

Так как для любой точки на поверхности сферы расстояние до ее геометрического центра строго равно радиусу $R$, эту величину можно вынести как константу за знак интеграла при подсчете полного потенциала:
$$V(0) = \int dV = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{R} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} \int dq = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$$

Поскольку расстояние от любого элемента $dq$ до центра всегда одинаково, потенциал в центре равен $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$ и не зависит от того, как именно (равномерно или кусками) распределен заряд по поверхности.

2. Потенциал поля на поверхности сферы

Потенциал в любой выбранной точке на поверхности сферы равен сумме потенциалов, создаваемых всеми остальными элементарными зарядами $dq$ этой сферы. То есть $V = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{r}$, где $r$ — расстояние от рассматриваемой точки до элемента $dq$ (не совпадающего с самой этой точкой). При перераспределении зарядов по сфере эти расстояния $r$ будут меняться. Следовательно, изменится значение интеграла, а значит, и итоговый потенциал.