| @@ -1,38 +1,26 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $6.3.7.$ [Вставьте условие задачи] |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| |
| |
| |
| ### Условие |
| |
| |
| |
| $6.3.7.$ Сфера радиуса $R$ имеет заряд $Q$. Чему равен потенциал поля в центре сферы? Зависит ли потенциал в центре сферы от распределения зарядов на сфере? Зависит ли потенциал поля на поверхности сферы от распределения заряда по сфере? |
| $6.3.7.$ Сфера радиуса $R$ имеет заряд $Q$. Чему равен потенциал поля в центре сферы? Зависит ли потенциал в центре сферы от распределения зарядов на сфере? Зависит ли потенциал поля на поверхности сферы от распределения заряда по сфере? |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| В условии строго сказано, что заряд находится «на сфере», а не «в шаре». Это означает, что мы рассматриваем именно поверхностное (двумерное) распределение заряда. Если бы заряд был распределен по объему, последующие вопросы задачи о зависимости от локального распределения потеряли бы смысл. Поэтому считаем, что весь заряд $Q$ находится исключительно на поверхности. |
| В условии строго сказано, что заряд находится «на сфере», а не «в шаре». Это означает, что мы рассматриваем именно поверхностное распределение заряда. |
| |
| |
| Разобьем полный заряд $Q$ на элементарные точечные заряды $dq$, расположенные на сфере. |
| Разобьем полный заряд $Q$ на элементарные точечные заряды $dq$, расположенные на сфере. |
| |
| |
| 1. Потенциал в центре сферы |
| #### 1. Потенциал в центре сферы |
| Потенциал, создаваемый каждым элементом $dq$ в центре сферы, равен: |
| Потенциал, создаваемый каждым элементом $dq$ в центре сферы, равен: |
| $$ dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{R} $$ |
| $$ dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{R} $$ |
| |
| |
| Так как для любой точки на поверхности сферы расстояние до ее геометрического центра строго равно радиусу $R$, эту величину можно вынести как константу за знак интеграла при подсчете полного потенциала: |
| Так как для любой точки на поверхности сферы расстояние до ее геометрического центра строго равно радиусу $R$, эту величину можно вынести как константу за знак интеграла при подсчете полного потенциала: |
| $$ V(0) = \int dV = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{R} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} \int dq = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} $$ |
| $$ V(0) = \int dV = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{R} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} \int dq = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} $$ |
| |
| |
| Поскольку расстояние от любого элемента $dq$ до центра всегда одинаково, потенциал в центре равен $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$ и не зависит от того, как именно (равномерно или кусками) распределен заряд по поверхности. |
| Поскольку расстояние от любого элемента $dq$ до центра всегда одинаково, потенциал в центре равен $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$ и не зависит от того, как именно (равномерно или кусками) распределен заряд по поверхности. |
| |
| |
| 2. Потенциал на поверхности сферы |
| #### 2. Потенциал поля на поверхности сферы |
| При расчете потенциала на самой поверхности сферы расстояние от выбранной точки до других элементов заряда $dq$ уже не является константой (оно будет меняться от $0$ до $2R$). |
| Потенциал в любой выбранной точке на поверхности сферы равен сумме потенциалов, создаваемых всеми остальными элементарными зарядами $dq$ этой сферы. То есть $V = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{r}$, где $r$ — расстояние от рассматриваемой точки до элемента $dq$ (не совпадающего с самой этой точкой). При перераспределении зарядов по сфере эти расстояния $r$ будут меняться. Следовательно, изменится значение интеграла, а значит, и итоговый потенциал. |
| |
| |
| Если заряд распределен неравномерно, то вблизи его скоплений потенциал будет локально выше, а вдали — ниже. Следовательно, потенциал поля на поверхности сферы зависит от распределения заряда. (Поверхность сферы будет эквипотенциальной только в двух случаях: если заряд распределен идеально равномерно, либо если сфера является проводящей). |
| #### Ответ |
| |
| |
| ### Ответ |
| |
| |
| |
| $$ V(0) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} $$ |
| $$ V(0) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} $$ |
| Не зависит; зависит. |
| Не зависит; зависит. |
| |
| |
| #### Ответ |
| |
| |
| |
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| |
