Решение

Условие

$6.3.7.$ Сфера радиуса $R$ имеет заряд $Q$. Чему равен потенциал поля в центре сферы? Зависит ли потенциал в центре сферы от распределения зарядов на сфере? Зависит ли потенциал поля на поверхности сферы от распределения заряда по сфере?

Решение

В условии строго сказано, что заряд находится «на сфере», а не «в шаре». Это означает, что мы рассматриваем именно поверхностное (двумерное) распределение заряда. Если бы заряд был распределен по объему, последующие вопросы задачи о зависимости от локального распределения потеряли бы смысл. Поэтому считаем, что весь заряд $Q$ находится исключительно на поверхности.

Разобьем полный заряд $Q$ на элементарные точечные заряды $dq$, расположенные на сфере.

1. Потенциал в центре сферы
   Потенциал, создаваемый каждым элементом $dq$ в центре сферы, равен:
   $$dV = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{R}$$

Так как для любой точки на поверхности сферы расстояние до ее геометрического центра строго равно радиусу $R$, эту величину можно вынести как константу за знак интеграла при подсчете полного потенциала:
$$V(0) = \int dV = \int \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{R} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 R} \int dq = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$$

Поскольку расстояние от любого элемента $dq$ до центра всегда одинаково, потенциал в центре равен $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$ и не зависит от того, как именно (равномерно или кусками) распределен заряд по поверхности.

2. Потенциал на поверхности сферы
   При расчете потенциала на самой поверхности сферы расстояние от выбранной точки до других элементов заряда $dq$ уже не является константой (оно будет меняться от $0$ до $2R$).

Если заряд распределен неравномерно, то вблизи его скоплений потенциал будет локально выше, а вдали — ниже. Следовательно, потенциал поля на поверхности сферы зависит от распределения заряда. (Поверхность сферы будет эквипотенциальной только в двух случаях: если заряд распределен идеально равномерно, либо если сфера является проводящей).