Решение

На санки действует единственная внешняя сила $2\vec{T}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту

$$F_x=2T\cos\alpha\tag{1}$$

Из рисунка:

$$\cos\alpha =\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}\tag{2}$$

Тогда

$$F_x=T\frac{2x}{\sqrt{x^2+h^2}}\tag{3}$$

Работа внешней силы равна:

$$A=\int_{0}^{x_0}F_xdx\tag{4}$$

$$A=2T\int_{0}^{x_0}\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx\tag{5}$$

$$\int\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx=\sqrt{x^2+h^2}+C\tag{6}$$

$$\int_{0}^{x_0}\frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}}dx=\sqrt{x_0^2+h^2}-h\tag{7}$$

По условию:

$$l=\sqrt{x_0^2+h^2}\tag{8}$$

Тогда $(5)$ можно переписать:

$$A=2T(l-h)\tag{9}$$

Энергия внешней силы перешла в кинетическую энергию санок $(A=E_{кин})$:

$$2T(l-h)=\frac{mv^2}{2}\tag{10}$$

Отсюда:

$$v=\sqrt{\frac{4T(l-h)}{m}}\tag{11}$$

Альтернативное решение (через кинематическую связь)

Пусть $x$ — горизонтальное расстояние от ворот до санок, а $L$ — длина участка веревки от перекладины до санок. Горизонтальная скорость санок $v = - \frac{dx}{dt}$ (знак минус означает, что координата $x$ при движении вперед уменьшается).

Поскольку веревка привязана к санкам, и за нее же тянет мальчик, на систему вдоль линии натяжения действует суммарная внешняя сила $2T$.
Горизонтальная проекция этой силы разгоняет санки:
$$F_x = 2T \cos\alpha = 2T \frac{x}{L}$$

Запишем второй закон Ньютона для горизонтальной оси:
$$m \frac{dv}{dt} = 2T \frac{x}{L}$$

Вместо того чтобы считать работу переменной силы, найдем связь между $\frac{x}{L}$ и скоростью через кинематическую связь. По теореме Пифагора:
$$L^2 = x^2 + h^2$$

Продифференцируем обе части по времени $t$ (учитывая, что $h = \text{const}$):
$$2L \frac{dL}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$$

Подставим горизонтальную скорость $\frac{dx}{dt} = -v$:
$$L \frac{dL}{dt} = -x v \implies \frac{x}{L} = -\frac{1}{v} \frac{dL}{dt}$$

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение движения:
$$m \frac{dv}{dt} = 2T \left( -\frac{1}{v} \frac{dL}{dt} \right)$$
$$m v \frac{dv}{dt} = -2T \frac{dL}{dt}$$
$$m v \, dv = -2T \, dL$$

Проинтегрируем обе части от начального состояния (скорость $v = 0$, длина участка $L = l$) до конечного под перекладиной (скорость $v = V$, длина участка $L = h$):
$$\int_{0}^{V} m v \, dv = \int_{l}^{h} -2T \, dL$$
$$\frac{mV^2}{2} = -2T(h - l) = 2T(l - h)$$

Отсюда выражаем конечную скорость $V$:
$$V = \sqrt{\frac{4T(l - h)}{m}}$$