$2.3.18^*.$ Веревка привязана к санкам и переброшена через перекладину ворот высоты $h$. Мальчик, сидящий на санках, начинает выбирать веревку, натягивая ее с силой $T$. Какую скорость он приобретет, проезжая под перекладиной? Начальная длина натянутой части веревки $2l$, масса мальчика с санками $m$. Трением пренебречь.
Энергия внешней силы перешла в кинетическую энергию санок $(A=E_{кин})$:
$$
−
2T(L-h)=\frac{mv^2}{2}\tag{10}
+
2T(l-h)=\frac{mv^2}{2}\tag{10}
$$
Отсюда:
$$
−
v=\sqrt{\frac{4T(L-h)}{m}}\tag{11}
+
v=\sqrt{\frac{4T(l-h)}{m}}\tag{11}
$$
### Альтернативное решение (через кинематическую связь)
Пусть $x$ — горизонтальное расстояние от ворот до санок, а $L$ — длина участка веревки от перекладины до санок. Горизонтальная скорость санок $v = - \frac{dx}{dt}$ (знак минус означает, что координата $x$ при движении вперед уменьшается).
Поскольку веревка привязана к санкам, и за нее же тянет мальчик, на систему вдоль линии натяжения действует суммарная внешняя сила $2T$.
Горизонтальная проекция этой силы разгоняет санки:
$$F_x = 2T \cos\alpha = 2T \frac{x}{L}$$
Запишем второй закон Ньютона для горизонтальной оси:
$$m \frac{dv}{dt} = 2T \frac{x}{L}$$
Вместо того чтобы считать работу переменной силы, найдем связь между $\frac{x}{L}$ и скоростью через кинематическую связь. По теореме Пифагора:
$$L^2 = x^2 + h^2$$
Продифференцируем обе части по времени $t$ (учитывая, что $h = \text{const}$):
$$2L \frac{dL}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$$
Подставим горизонтальную скорость $\frac{dx}{dt} = -v$:
$$L \frac{dL}{dt} = -x v \implies\frac{x}{L} = -\frac{1}{v}\frac{dL}{dt}$$
Теперь подставим это выражение обратно в уравнение движения:
Проинтегрируем обе части от начального состояния (скорость $v = 0$, длина участка $L = l$) до конечного под перекладиной (скорость $v = V$, длина участка $L = h$):
$$\int_{0}^{V} m v \, dv = \int_{l}^{h} -2T \, dL$$
$$\frac{mV^2}{2} = -2T(h - l) = 2T(l - h)$$
@@ -100,4 +100,4 @@Альтернативное решение (через кинематическую связь)
Отсюда выражаем конечную скорость $V$:
$$V = \sqrt{\frac{4T(l - h)}{m}}$$
−
#### Ответ: $v=2\sqrt{\frac{T(L-h)}{m}}$
+
#### Ответ: $v=2\sqrt{\frac{T(l-h)}{m}}$
### Условие:
### Условие:
$2.3.18^*.$ Веревка привязана к санкам и переброшена через перекладину ворот высоты $h$. Мальчик, сидящий на санках, начинает выбирать веревку, натягивая ее с силой $T$. Какую скорость он приобретет, проезжая под перекладиной? Начальная длина натянутой части веревки $2l$, масса мальчика с санками $m$. Трением пренебречь.
$2.3.18^*.$ Веревка привязана к санкам и переброшена через перекладину ворот высоты $h$. Мальчик, сидящий на санках, начинает выбирать веревку, натягивая ее с силой $T$. Какую скорость он приобретет, проезжая под перекладиной? Начальная длина натянутой части веревки $2l$, масса мальчика с санками $m$. Трением пренебречь.
Энергия внешней силы перешла в кинетическую энергию санок $(A=E_{кин})$:
Энергия внешней силы перешла в кинетическую энергию санок $(A=E_{кин})$:
$$
$$
2T(L-h)=\frac{mv^2}{2}\tag{10}
2T(l-h)=\frac{mv^2}{2}\tag{10}
$$
$$
Отсюда:
Отсюда:
$$
$$
v=\sqrt{\frac{4T(L-h)}{m}}\tag{11}
v=\sqrt{\frac{4T(l-h)}{m}}\tag{11}
$$
$$
### Альтернативное решение (через кинематическую связь)
### Альтернативное решение (через кинематическую связь)
Пусть $x$ — горизонтальное расстояние от ворот до санок, а $L$ — длина участка веревки от перекладины до санок. Горизонтальная скорость санок $v = - \frac{dx}{dt}$ (знак минус означает, что координата $x$ при движении вперед уменьшается).
Пусть $x$ — горизонтальное расстояние от ворот до санок, а $L$ — длина участка веревки от перекладины до санок. Горизонтальная скорость санок $v = - \frac{dx}{dt}$ (знак минус означает, что координата $x$ при движении вперед уменьшается).
Поскольку веревка привязана к санкам, и за нее же тянет мальчик, на систему вдоль линии натяжения действует суммарная внешняя сила $2T$.
Поскольку веревка привязана к санкам, и за нее же тянет мальчик, на систему вдоль линии натяжения действует суммарная внешняя сила $2T$.
Горизонтальная проекция этой силы разгоняет санки:
Горизонтальная проекция этой силы разгоняет санки:
$$F_x = 2T \cos\alpha = 2T \frac{x}{L}$$
$$F_x = 2T \cos\alpha = 2T \frac{x}{L}$$
Запишем второй закон Ньютона для горизонтальной оси:
Запишем второй закон Ньютона для горизонтальной оси:
$$m \frac{dv}{dt} = 2T \frac{x}{L}$$
$$m \frac{dv}{dt} = 2T \frac{x}{L}$$
Вместо того чтобы считать работу переменной силы, найдем связь между $\frac{x}{L}$ и скоростью через кинематическую связь. По теореме Пифагора:
Вместо того чтобы считать работу переменной силы, найдем связь между $\frac{x}{L}$ и скоростью через кинематическую связь. По теореме Пифагора:
$$L^2 = x^2 + h^2$$
$$L^2 = x^2 + h^2$$
Продифференцируем обе части по времени $t$ (учитывая, что $h = \text{const}$):
Продифференцируем обе части по времени $t$ (учитывая, что $h = \text{const}$):
$$2L \frac{dL}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$$
$$2L \frac{dL}{dt} = 2x \frac{dx}{dt}$$
Подставим горизонтальную скорость $\frac{dx}{dt} = -v$:
Подставим горизонтальную скорость $\frac{dx}{dt} = -v$:
$$L \frac{dL}{dt} = -x v \implies\frac{x}{L} = -\frac{1}{v}\frac{dL}{dt}$$
$$L \frac{dL}{dt} = -x v \implies\frac{x}{L} = -\frac{1}{v}\frac{dL}{dt}$$
Теперь подставим это выражение обратно в уравнение движения:
Теперь подставим это выражение обратно в уравнение движения:
Проинтегрируем обе части от начального состояния (скорость $v = 0$, длина участка $L = l$) до конечного под перекладиной (скорость $v = V$, длина участка $L = h$):
Проинтегрируем обе части от начального состояния (скорость $v = 0$, длина участка $L = l$) до конечного под перекладиной (скорость $v = V$, длина участка $L = h$):
$$\int_{0}^{V} m v \, dv = \int_{l}^{h} -2T \, dL$$
$$\int_{0}^{V} m v \, dv = \int_{l}^{h} -2T \, dL$$
$$\frac{mV^2}{2} = -2T(h - l) = 2T(l - h)$$
$$\frac{mV^2}{2} = -2T(h - l) = 2T(l - h)$$
@@ -100,4 +100,4 @@Альтернативное решение (через кинематическую связь)
