Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/10.1.17.md
+69 −15
| @@ -1,20 +1,74 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | а. В плоском конденсаторе длины l напряженность электрического | ||
| − | поля равна E, а индукция магнитного поля, направленного вдоль E, равна B. | ||
| − | У входа в конденсатор имеется радиоактивный источник, испускающий электроны с разными скоростями. Из них формируют тонкий пучок, который проходит | ||
| − | через конденсатор, а затем попадает на фотопластинку, расположенную на расстоянии L l. Какую линию-след «вычертят» электроны на фотопластинке, | ||
| − | если отклонения их от прямолинейной траектории малы? | ||
| − | б. Найдите линию-след электронов на фотопластинке для B = 1 Тл, E = | ||
| − | 5 · 105 В/м, l = 5 см, L = 50 см. | ||
| − | в. При большой скорости электрона его масса заметно изменяется; согласно | ||
| − | формуле Лоренца m = me/p1 − β2, где β — отношение скорости электрона к | ||
| − | скорости света, mε — масса покоя электрона. Решите задачу 10.1.17а с учетом | ||
| − | эффекта изменения массы электрона. | ||
| − |  | ||
| + | $10.1.17.$ | ||
| + | а) В плоском конденсаторе длины $l$ напряженность электрического поля равна $E$, а индукция магнитного поля, направленного вдоль $E$, равна $B$. У входа в конденсатор имеется радиоактивный источник, испускающий электроны с разными скоростями. Из них формируют тонкий пучок, который проходит через конденсатор, а затем попадает на фотопластинку, расположенную на расстоянии $L \gg l$. Какую линию-след «вычертят» электроны на фотопластинке, если отклонения их от прямолинейной траектории малы? | ||
| − | ### Решение | ||
| + | б) Найдите линию-след электронов на фотопластинке для $B = 1$ Тл, $E = 5 \cdot 10^5$ В/м, $l = 5$ см, $L = 50$ см. | ||
| − |  | ||
| + | в) При большой скорости электрона его масса заметно изменяется; согласно формуле Лоренца $m = m_e / \sqrt{1 - \beta^2}$, где $\beta$ — отношение скорости электрона к скорости света, $m_e$ — масса покоя электрона. Решите задачу 10.1.17а с учетом эффекта изменения массы электрона. | ||
| − | ### Ответ | ||
| + | ### Решение | ||
| + | |||
| + | а) Введем систему координат, как показано на рисунке к задаче: пучок летит вдоль оси $x$, поля направлены вертикально вверх вдоль оси $y$ ($\vec{E} = E \hat{j}$, $\vec{B} = B \hat{j}$). Сила, действующая на электрон (с зарядом $q = -e$) — это сила Лоренца: | ||
| + | $$\vec{F} = -e\vec{E} - e(\vec{v} \times \vec{B})$$ | ||
| + | Поскольку отклонения малы, время пролета внутри конденсатора составляет $t_1 \approx l/v$. | ||
| + | Поперечные силы, действующие на электрон: | ||
| + | $F_y = -eE$ (электрическая сила отклоняет вниз, против оси $y$) | ||
| + | $F_z = -e(v\hat{i} \times B\hat{j})_z = -evB$ (магнитная сила отклоняет против оси $z$) | ||
| + | |||
| + | Поперечные компоненты скорости при вылете из конденсатора: | ||
| + | $$v_z = a_z t_1 = -\frac{evB}{m} \frac{l}{v} = -\frac{eBl}{m}$$ | ||
| + | $$v_y = a_y t_1 = -\frac{eE}{m} \frac{l}{v} = -\frac{eEl}{mv}$$ | ||
| + | |||
| + | Поскольку $L \gg l$, мы можем пренебречь малым смещением электрона внутри самого конденсатора и рассматривать смещение только во время свободного полета к экрану, где время дрейфа $t_2 \approx L/v$: | ||
| + | $$z \approx v_z t_2 = -\frac{eBlL}{mv}$$ | ||
| + | $$y \approx v_y t_2 = -\frac{eElL}{mv^2}$$ | ||
| + | |||
| + | Чтобы найти уравнение траектории на экране (в координатах $z, y$), выразим скорость $v$ из уравнения для горизонтального отклонения $z$: | ||
| + | $$v = -\frac{eBlL}{mz}$$ | ||
| + | Подставим полученное выражение в уравнение для вертикального отклонения $y$: | ||
| + | $$y = -\frac{eElL}{m} \left( -\frac{mz}{eBlL} \right)^2 = - \frac{mE}{e B^2 l L} z^2$$ | ||
| + | След на экране представляет собой ветвь параболы (электроны попадают в квадрант $-z, -y$). | ||
| + | |||
| + | б) Подставим числовые значения. Используя массу электрона $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг и элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл: | ||
| + | $$y = - \frac{9.1 \cdot 10^{-31} \cdot 5 \cdot 10^5}{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 1^2 \cdot 0.05 \cdot 0.5} z^2 \approx -1.14 \cdot 10^{-4} \cdot z^2 \; (\text{м})$$ | ||
| + | |||
| + | в) Для релятивистских скоростей необходимо использовать импульс $\vec{p} = \gamma m_e \vec{v}$. | ||
| + | Изменение поперечного импульса внутри конденсатора определяется импульсом действующих сил $\Delta \vec{p} = \vec{F} t_1$: | ||
| + | $$p_z = -evB \frac{l}{v} = -eBl$$ | ||
| + | $$p_y = -eE \frac{l}{v} = -\frac{eEl}{v}$$ | ||
| + | |||
| + | Координаты на экране определяются скоростями $v_z = p_z / (\gamma m_e)$ и $v_y = p_y / (\gamma m_e)$: | ||
| + | $$z = v_z \frac{L}{v} = \frac{p_z L}{\gamma m_e v} = -\frac{eBlL}{p}$$ | ||
| + | $$y = v_y \frac{L}{v} = \frac{p_y L}{\gamma m_e v} = - \frac{eElL}{p v}$$ | ||
| + | где $p = \gamma m_e v$ — полный импульс электрона. | ||
| + | |||
| + | Из этих уравнений можно выразить полный импульс $p$ и произведение $pv$: | ||
| + | $$p = -\frac{eBlL}{z} \quad \text{и} \quad pv = - \frac{eElL}{y}$$ | ||
| + | Разделив второе выражение на первое, найдем скорость: | ||
| + | $$v = \frac{pv}{p} = \frac{E z}{B y}$$ | ||
| + | |||
| + | Используем релятивистскую связь между импульсом и скоростью: $p = \frac{m_e v}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$. Подставим выражения для $p$ и $v$ в это соотношение: | ||
| + | $$-\frac{eBlL}{z} = \frac{m_e (Ez / By)}{\sqrt{1 - \left( \frac{Ez}{Bcy} \right)^2}}$$ | ||
| + | Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня и минуса: | ||
| + | $$\frac{e^2 B^2 l^2 L^2}{z^2} \left( 1 - \frac{E^2 z^2}{B^2 c^2 y^2} \right) = \frac{m_e^2 E^2 z^2}{B^2 y^2}$$ | ||
| + | Раскроем скобки: | ||
| + | $$\frac{e^2 B^2 l^2 L^2}{z^2} - \frac{e^2 E^2 l^2 L^2}{c^2 y^2} = \frac{m_e^2 E^2 z^2}{B^2 y^2}$$ | ||
| + | Умножим всё выражение на $z^2 y^2$ и выразим $y^2$: | ||
| + | $$e^2 B^2 l^2 L^2 y^2 = \frac{e^2 E^2 l^2 L^2 z^2}{c^2} + \frac{m_e^2 E^2 z^4}{B^2}$$ | ||
| + | $$y^2 = \frac{E^2 z^2}{e^2 B^2 l^2 L^2} \left( \frac{e^2 l^2 L^2}{c^2} + \frac{m_e^2 z^2}{B^2} \right)$$ | ||
| + | Извлекая квадратный корень (и выбирая знак минус, так как отклонение происходит в отрицательном направлении оси $y$), получаем: | ||
| + | $$y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z \sqrt{z^2 + \left( \frac{eBlL}{m_e c} \right)^2}$$ | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | а) $y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z^2$ | ||
| + | |||
| + | б) $y = -1.14 \cdot 10^{-4} \cdot z^2$ м | ||
| + | |||
| + | в) $y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z \sqrt{z^2 + \left( \frac{eBlL}{m_e c} \right)^2}$ | ||
| + | |||
| + | --- | ||
| + | *Примечание к официальному ответу:* | ||
| + | При сверке с ответами в оригинальном задачнике Савченко следует обратить внимание на следующие опечатки и неточности: | ||
| + | 1. В задачнике пропущены знаки минус. Поскольку электрон несет отрицательный заряд, смещение пучка происходит в отрицательном направлении осей $y$ и $z$, однако авторы приводят уравнение кривой по модулю. | ||
| + | 2. В официальном ответе к пункту (в) допущена грубая математическая опечатка: под знаком корня в первом слагаемом пропущен квадрат (напечатано $z \sqrt{z + \dots}$ вместо $z \sqrt{z^2 + \dots}$). Представленный в задачнике вид нарушает правила размерности физических величин. | ||
| @@ -1,20 +1,74 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| а. В плоском конденсаторе длины l напряженность электрического | |||
| поля равна E, а индукция магнитного поля, направленного вдоль E, равна B. | |||
| У входа в конденсатор имеется радиоактивный источник, испускающий электроны с разными скоростями. Из них формируют тонкий пучок, который проходит | |||
| через конденсатор, а затем попадает на фотопластинку, расположенную на расстоянии L l. Какую линию-след «вычертят» электроны на фотопластинке, | |||
| если отклонения их от прямолинейной траектории малы? | |||
| б. Найдите линию-след электронов на фотопластинке для B = 1 Тл, E = | |||
| 5 · 105 В/м, l = 5 см, L = 50 см. | |||
| в. При большой скорости электрона его масса заметно изменяется; согласно | |||
| формуле Лоренца m = me/p1 − β2, где β — отношение скорости электрона к | |||
| скорости света, mε — масса покоя электрона. Решите задачу 10.1.17а с учетом | |||
| эффекта изменения массы электрона. | |||
|  | $10.1.17.$ | ||
| а) В плоском конденсаторе длины $l$ напряженность электрического поля равна $E$, а индукция магнитного поля, направленного вдоль $E$, равна $B$. У входа в конденсатор имеется радиоактивный источник, испускающий электроны с разными скоростями. Из них формируют тонкий пучок, который проходит через конденсатор, а затем попадает на фотопластинку, расположенную на расстоянии $L \gg l$. Какую линию-след «вычертят» электроны на фотопластинке, если отклонения их от прямолинейной траектории малы? | |||
| ### Решение | б) Найдите линию-след электронов на фотопластинке для $B = 1$ Тл, $E = 5 \cdot 10^5$ В/м, $l = 5$ см, $L = 50$ см. | ||
|  | в) При большой скорости электрона его масса заметно изменяется; согласно формуле Лоренца $m = m_e / \sqrt{1 - \beta^2}$, где $\beta$ — отношение скорости электрона к скорости света, $m_e$ — масса покоя электрона. Решите задачу 10.1.17а с учетом эффекта изменения массы электрона. | ||
| ### Ответ | ### Решение | ||
| а) Введем систему координат, как показано на рисунке к задаче: пучок летит вдоль оси $x$, поля направлены вертикально вверх вдоль оси $y$ ($\vec{E} = E \hat{j}$, $\vec{B} = B \hat{j}$). Сила, действующая на электрон (с зарядом $q = -e$) — это сила Лоренца: | |||
| $$\vec{F} = -e\vec{E} - e(\vec{v} \times \vec{B})$$ | |||
| Поскольку отклонения малы, время пролета внутри конденсатора составляет $t_1 \approx l/v$. | |||
| Поперечные силы, действующие на электрон: | |||
| $F_y = -eE$ (электрическая сила отклоняет вниз, против оси $y$) | |||
| $F_z = -e(v\hat{i} \times B\hat{j})_z = -evB$ (магнитная сила отклоняет против оси $z$) | |||
| Поперечные компоненты скорости при вылете из конденсатора: | |||
| $$v_z = a_z t_1 = -\frac{evB}{m} \frac{l}{v} = -\frac{eBl}{m}$$ | |||
| $$v_y = a_y t_1 = -\frac{eE}{m} \frac{l}{v} = -\frac{eEl}{mv}$$ | |||
| Поскольку $L \gg l$, мы можем пренебречь малым смещением электрона внутри самого конденсатора и рассматривать смещение только во время свободного полета к экрану, где время дрейфа $t_2 \approx L/v$: | |||
| $$z \approx v_z t_2 = -\frac{eBlL}{mv}$$ | |||
| $$y \approx v_y t_2 = -\frac{eElL}{mv^2}$$ | |||
| Чтобы найти уравнение траектории на экране (в координатах $z, y$), выразим скорость $v$ из уравнения для горизонтального отклонения $z$: | |||
| $$v = -\frac{eBlL}{mz}$$ | |||
| Подставим полученное выражение в уравнение для вертикального отклонения $y$: | |||
| $$y = -\frac{eElL}{m} \left( -\frac{mz}{eBlL} \right)^2 = - \frac{mE}{e B^2 l L} z^2$$ | |||
| След на экране представляет собой ветвь параболы (электроны попадают в квадрант $-z, -y$). | |||
| б) Подставим числовые значения. Используя массу электрона $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг и элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл: | |||
| $$y = - \frac{9.1 \cdot 10^{-31} \cdot 5 \cdot 10^5}{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 1^2 \cdot 0.05 \cdot 0.5} z^2 \approx -1.14 \cdot 10^{-4} \cdot z^2 \; (\text{м})$$ | |||
| в) Для релятивистских скоростей необходимо использовать импульс $\vec{p} = \gamma m_e \vec{v}$. | |||
| Изменение поперечного импульса внутри конденсатора определяется импульсом действующих сил $\Delta \vec{p} = \vec{F} t_1$: | |||
| $$p_z = -evB \frac{l}{v} = -eBl$$ | |||
| $$p_y = -eE \frac{l}{v} = -\frac{eEl}{v}$$ | |||
| Координаты на экране определяются скоростями $v_z = p_z / (\gamma m_e)$ и $v_y = p_y / (\gamma m_e)$: | |||
| $$z = v_z \frac{L}{v} = \frac{p_z L}{\gamma m_e v} = -\frac{eBlL}{p}$$ | |||
| $$y = v_y \frac{L}{v} = \frac{p_y L}{\gamma m_e v} = - \frac{eElL}{p v}$$ | |||
| где $p = \gamma m_e v$ — полный импульс электрона. | |||
| Из этих уравнений можно выразить полный импульс $p$ и произведение $pv$: | |||
| $$p = -\frac{eBlL}{z} \quad \text{и} \quad pv = - \frac{eElL}{y}$$ | |||
| Разделив второе выражение на первое, найдем скорость: | |||
| $$v = \frac{pv}{p} = \frac{E z}{B y}$$ | |||
| Используем релятивистскую связь между импульсом и скоростью: $p = \frac{m_e v}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$. Подставим выражения для $p$ и $v$ в это соотношение: | |||
| $$-\frac{eBlL}{z} = \frac{m_e (Ez / By)}{\sqrt{1 - \left( \frac{Ez}{Bcy} \right)^2}}$$ | |||
| Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня и минуса: | |||
| $$\frac{e^2 B^2 l^2 L^2}{z^2} \left( 1 - \frac{E^2 z^2}{B^2 c^2 y^2} \right) = \frac{m_e^2 E^2 z^2}{B^2 y^2}$$ | |||
| Раскроем скобки: | |||
| $$\frac{e^2 B^2 l^2 L^2}{z^2} - \frac{e^2 E^2 l^2 L^2}{c^2 y^2} = \frac{m_e^2 E^2 z^2}{B^2 y^2}$$ | |||
| Умножим всё выражение на $z^2 y^2$ и выразим $y^2$: | |||
| $$e^2 B^2 l^2 L^2 y^2 = \frac{e^2 E^2 l^2 L^2 z^2}{c^2} + \frac{m_e^2 E^2 z^4}{B^2}$$ | |||
| $$y^2 = \frac{E^2 z^2}{e^2 B^2 l^2 L^2} \left( \frac{e^2 l^2 L^2}{c^2} + \frac{m_e^2 z^2}{B^2} \right)$$ | |||
| Извлекая квадратный корень (и выбирая знак минус, так как отклонение происходит в отрицательном направлении оси $y$), получаем: | |||
| $$y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z \sqrt{z^2 + \left( \frac{eBlL}{m_e c} \right)^2}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| а) $y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z^2$ | |||
| б) $y = -1.14 \cdot 10^{-4} \cdot z^2$ м | |||
| в) $y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z \sqrt{z^2 + \left( \frac{eBlL}{m_e c} \right)^2}$ | |||
| --- | |||
| *Примечание к официальному ответу:* | |||
| При сверке с ответами в оригинальном задачнике Савченко следует обратить внимание на следующие опечатки и неточности: | |||
| 1. В задачнике пропущены знаки минус. Поскольку электрон несет отрицательный заряд, смещение пучка происходит в отрицательном направлении осей $y$ и $z$, однако авторы приводят уравнение кривой по модулю. | |||
| 2. В официальном ответе к пункту (в) допущена грубая математическая опечатка: под знаком корня в первом слагаемом пропущен квадрат (напечатано $z \sqrt{z + \dots}$ вместо $z \sqrt{z^2 + \dots}$). Представленный в задачнике вид нарушает правила размерности физических величин. | |||