Правка раздела «Условие»

Valter правка от 18 авг. 2026 г., 19:58

правка #20116 предыдущая #20115 ← раньше позже →

ru/10.1.17.md +2 −0

			### Условие

			$10.1.17.$
			а) В плоском конденсаторе длины $l$ напряженность электрического поля равна $E$, а индукция магнитного поля, направленного вдоль $E$, равна $B$. У входа в конденсатор имеется радиоактивный источник, испускающий электроны с разными скоростями. Из них формируют тонкий пучок, который проходит через конденсатор, а затем попадает на фотопластинку, расположенную на расстоянии $L \gg l$. Какую линию-след «вычертят» электроны на фотопластинке, если отклонения их от прямолинейной траектории малы?

			б) Найдите линию-след электронов на фотопластинке для $B = 1$ Тл, $E = 5 \cdot 10^5$ В/м, $l = 5$ см, $L = 50$ см.
		@@ -7,6 +7,8 @@Условие

			в) При большой скорости электрона его масса заметно изменяется; согласно формуле Лоренца $m = m_e / \sqrt{1 - \beta^2}$, где $\beta$ — отношение скорости электрона к скорости света, $m_e$ — масса покоя электрона. Решите задачу 10.1.17а с учетом эффекта изменения массы электрона.

		+	![К задаче $10.1.17$\|330x171, 70%](../../img/10.1.17/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-08-18 234340.png)
		+
			### Решение

			а) Введем систему координат, как показано на рисунке к задаче: пучок летит вдоль оси $x$, поля направлены вертикально вверх вдоль оси $y$ ($\vec{E} = E \hat{j}$, $\vec{B} = B \hat{j}$). Сила, действующая на электрон (с зарядом $q = -e$) — это сила Лоренца:
			$$\vec{F} = -e\vec{E} - e(\vec{v} \times \vec{B})$$
			Поскольку отклонения малы, время пролета внутри конденсатора составляет $t_1 \approx l/v$.
			Поперечные силы, действующие на электрон:
			$F_y = -eE$ (электрическая сила отклоняет вниз, против оси $y$)
			$F_z = -e(v\hat{i} \times B\hat{j})_z = -evB$ (магнитная сила отклоняет против оси $z$)

			Поперечные компоненты скорости при вылете из конденсатора:
			$$v_z = a_z t_1 = -\frac{evB}{m} \frac{l}{v} = -\frac{eBl}{m}$$
			$$v_y = a_y t_1 = -\frac{eE}{m} \frac{l}{v} = -\frac{eEl}{mv}$$

			Поскольку $L \gg l$, мы можем пренебречь малым смещением электрона внутри самого конденсатора и рассматривать смещение только во время свободного полета к экрану, где время дрейфа $t_2 \approx L/v$:
			$$z \approx v_z t_2 = -\frac{eBlL}{mv}$$
			$$y \approx v_y t_2 = -\frac{eElL}{mv^2}$$

			Чтобы найти уравнение траектории на экране (в координатах $z, y$), выразим скорость $v$ из уравнения для горизонтального отклонения $z$:
			$$v = -\frac{eBlL}{mz}$$
			Подставим полученное выражение в уравнение для вертикального отклонения $y$:
			$$y = -\frac{eElL}{m} \left( -\frac{mz}{eBlL} \right)^2 = - \frac{mE}{e B^2 l L} z^2$$
			След на экране представляет собой ветвь параболы (электроны попадают в квадрант $-z, -y$).

			б) Подставим числовые значения. Используя массу электрона $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг и элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл:
			$$y = - \frac{9.1 \cdot 10^{-31} \cdot 5 \cdot 10^5}{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 1^2 \cdot 0.05 \cdot 0.5} z^2 \approx -1.14 \cdot 10^{-4} \cdot z^2 \; (\text{м})$$

			в) Для релятивистских скоростей необходимо использовать импульс $\vec{p} = \gamma m_e \vec{v}$.
			Изменение поперечного импульса внутри конденсатора определяется импульсом действующих сил $\Delta \vec{p} = \vec{F} t_1$:
			$$p_z = -evB \frac{l}{v} = -eBl$$
			$$p_y = -eE \frac{l}{v} = -\frac{eEl}{v}$$

			Координаты на экране определяются скоростями $v_z = p_z / (\gamma m_e)$ и $v_y = p_y / (\gamma m_e)$:
			$$z = v_z \frac{L}{v} = \frac{p_z L}{\gamma m_e v} = -\frac{eBlL}{p}$$
			$$y = v_y \frac{L}{v} = \frac{p_y L}{\gamma m_e v} = - \frac{eElL}{p v}$$
			где $p = \gamma m_e v$ — полный импульс электрона.

			Из этих уравнений можно выразить полный импульс $p$ и произведение $pv$:
			$$p = -\frac{eBlL}{z} \quad \text{и} \quad pv = - \frac{eElL}{y}$$
			Разделив второе выражение на первое, найдем скорость:
			$$v = \frac{pv}{p} = \frac{E z}{B y}$$

			Используем релятивистскую связь между импульсом и скоростью: $p = \frac{m_e v}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$. Подставим выражения для $p$ и $v$ в это соотношение:
			$$-\frac{eBlL}{z} = \frac{m_e (Ez / By)}{\sqrt{1 - \left( \frac{Ez}{Bcy} \right)^2}}$$
			Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня и минуса:
			$$\frac{e^2 B^2 l^2 L^2}{z^2} \left( 1 - \frac{E^2 z^2}{B^2 c^2 y^2} \right) = \frac{m_e^2 E^2 z^2}{B^2 y^2}$$
			Раскроем скобки:
			$$\frac{e^2 B^2 l^2 L^2}{z^2} - \frac{e^2 E^2 l^2 L^2}{c^2 y^2} = \frac{m_e^2 E^2 z^2}{B^2 y^2}$$
			Умножим всё выражение на $z^2 y^2$ и выразим $y^2$:
			$$e^2 B^2 l^2 L^2 y^2 = \frac{e^2 E^2 l^2 L^2 z^2}{c^2} + \frac{m_e^2 E^2 z^4}{B^2}$$
			$$y^2 = \frac{E^2 z^2}{e^2 B^2 l^2 L^2} \left( \frac{e^2 l^2 L^2}{c^2} + \frac{m_e^2 z^2}{B^2} \right)$$
			Извлекая квадратный корень (и выбирая знак минус, так как отклонение происходит в отрицательном направлении оси $y$), получаем:
			$$y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z \sqrt{z^2 + \left( \frac{eBlL}{m_e c} \right)^2}$$

			#### Ответ
			а) $y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z^2$

			б) $y = -1.14 \cdot 10^{-4} \cdot z^2$ м

			в) $y = - \frac{m_e E}{e B^2 l L} z \sqrt{z^2 + \left( \frac{eBlL}{m_e c} \right)^2}$

			---
			Примечание к официальному ответу:
			При сверке с ответами в оригинальном задачнике Савченко следует обратить внимание на следующие опечатки и неточности:
			1. В задачнике пропущены знаки минус. Поскольку электрон несет отрицательный заряд, смещение пучка происходит в отрицательном направлении осей $y$ и $z$, однако авторы приводят уравнение кривой по модулю.
			2. В официальном ответе к пункту (в) допущена грубая математическая опечатка: под знаком корня в первом слагаемом пропущен квадрат (напечатано $z \sqrt{z + \dots}$ вместо $z \sqrt{z^2 + \dots}$). Представленный в задачнике вид нарушает правила размерности физических величин.
		ещё строк без изменений 62