Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/3.9.21.md
+38 −5
| @@ -1,13 +1,46 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.9.21.$ С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины l = 60 | ||
| + | $3.9.21.$ С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины $l = 60 \text{ см}$ и линейной плотности $\mu = 0,1 \text{ г/см}$, чтобы она звучала с частотой $\nu = 100 \text{ Гц}$ на первой гармонике, т. е. на первой резонансной частоте? | ||
| ### Решение | |||
| − |  | ||
| + | <b>1. Скорость поперечной волны в струне</b> | ||
| − |  | ||
| + | Известно, что скорость распространения поперечных волн $v$ вдоль натянутой струны зависит от силы её натяжения $F$ и линейной плотности $\mu$ (массы единицы длины) по формуле: | ||
| + | $$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$ | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | <b>2. Условие образования стоячей волны</b> | ||
| − | |||
| + | Поскольку гитарная струна жестко закреплена с обоих концов, на этих концах должны образовываться узлы стоячей волны. На первой гармонике (основной тон) на всей длине струны $l$ укладывается ровно одна пучность, то есть половина длины волны $\lambda$: | ||
| + | $$l = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 2l$$ | ||
| + | |||
| + | <b>3. Связь частоты, длины волны и скорости</b> | ||
| + | |||
| + | По определению, скорость распространения волны связана с её длиной и частотой формулой: | ||
| + | $$v = \lambda \nu$$ | ||
| + | Подставляя сюда выражение для длины волны, получаем скорость волны на первой гармонике: | ||
| + | $$v = 2l\nu$$ | ||
| + | |||
| + | <b>4. Вывод итоговой формулы</b> | ||
| + | |||
| + | Приравняем два выражения для скорости волны: | ||
| + | $$2l\nu = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$ | ||
| + | Отсюда выразим искомую силу натяжения $F$. Возведем обе части уравнения в квадрат: | ||
| + | $$4l^2\nu^2 = \frac{F}{\mu}$$ | ||
| + | $$F = 4\mu l^2\nu^2$$ | ||
| + | |||
| + | <b>5. Расчет</b> | ||
| + | |||
| + | Переведем все величины в систему СИ: | ||
| + | |||
| + | $l = 60 \text{ см} = 0,6 \text{ м}$ | ||
| + | |||
| + | $\mu = 0,1 \text{ г/см} = \frac{0,1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{10^{-2} \text{ м}} = 0,01 \text{ кг/м}$ | ||
| + | |||
| + | $\nu = 100 \text{ Гц}$ | ||
| + | |||
| + | Подставляем значения в нашу формулу: | ||
| + | $$F = 4 \cdot 0,01 \cdot (0,6)^2 \cdot 100^2 = 4 \cdot 0,01 \cdot 0,36 \cdot 10000 = 144 \text{ Н}$$ | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | $F = 144 \text{ Н}$ | ||
| @@ -1,13 +1,46 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.9.21.$ С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины l = 60 |
$3.9.21.$ С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины $l = 60 \text{ см}$ и линейной плотности $\mu = 0,1 \text{ г/см}$, чтобы она звучала с частотой $\nu = 100 \text{ Гц}$ на первой гармонике, т. е. на первой резонансной частоте? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
|  | <b>1. Скорость поперечной волны в струне</b> | ||
|  | Известно, что скорость распространения поперечных волн $v$ вдоль натянутой струны зависит от силы её натяжения $F$ и линейной плотности $\mu$ (массы единицы длины) по формуле: | ||
| $$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$ | |||
| #### Ответ | <b>2. Условие образования стоячей волны</b> | ||
| Поскольку гитарная струна жестко закреплена с обоих концов, на этих концах должны образовываться узлы стоячей волны. На первой гармонике (основной тон) на всей длине струны $l$ укладывается ровно одна пучность, то есть половина длины волны $\lambda$: | |||
| $$l = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 2l$$ | |||
| <b>3. Связь частоты, длины волны и скорости</b> | |||
| По определению, скорость распространения волны связана с её длиной и частотой формулой: | |||
| $$v = \lambda \nu$$ | |||
| Подставляя сюда выражение для длины волны, получаем скорость волны на первой гармонике: | |||
| $$v = 2l\nu$$ | |||
| <b>4. Вывод итоговой формулы</b> | |||
| Приравняем два выражения для скорости волны: | |||
| $$2l\nu = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$ | |||
| Отсюда выразим искомую силу натяжения $F$. Возведем обе части уравнения в квадрат: | |||
| $$4l^2\nu^2 = \frac{F}{\mu}$$ | |||
| $$F = 4\mu l^2\nu^2$$ | |||
| <b>5. Расчет</b> | |||
| Переведем все величины в систему СИ: | |||
| $l = 60 \text{ см} = 0,6 \text{ м}$ | |||
| $\mu = 0,1 \text{ г/см} = \frac{0,1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{10^{-2} \text{ м}} = 0,01 \text{ кг/м}$ | |||
| $\nu = 100 \text{ Гц}$ | |||
| Подставляем значения в нашу формулу: | |||
| $$F = 4 \cdot 0,01 \cdot (0,6)^2 \cdot 100^2 = 4 \cdot 0,01 \cdot 0,36 \cdot 10000 = 144 \text{ Н}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $F = 144 \text{ Н}$ | |||