| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $3.9.21.$ С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины $l = 60 \text{ см}$ и линейной плотности $\mu = 0,1 \text{ г/см}$, чтобы она звучала с частотой $\nu = 100 \text{ Гц}$ на первой гармонике, т. е. на первой резонансной частоте? | | $3.9.21.$ С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины $l = 60 \text{ см}$ и линейной плотности $\mu = 0,1 \text{ г/см}$, чтобы она звучала с частотой $\nu = 100 \text{ Гц}$ на первой гармонике, т. е. на первой резонансной частоте? |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| <b>1. Скорость поперечной волны в струне</b> | | <b>1. Скорость поперечной волны в струне</b> |
| | | |
| Известно, что скорость распространения поперечных волн $v$ вдоль натянутой струны зависит от силы её натяжения $F$ и линейной плотности $\mu$ (массы единицы длины) по формуле: | | Известно, что скорость распространения поперечных волн $v$ вдоль натянутой струны зависит от силы её натяжения $F$ и линейной плотности $\mu$ (массы единицы длины) по формуле: |
| $$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$ | | $$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$ |
| | | |
| <b>2. Условие образования стоячей волны</b> | | <b>2. Условие образования стоячей волны</b> |
| | | |
| Поскольку гитарная струна жестко закреплена с обоих концов, на этих концах должны образовываться узлы стоячей волны. На первой гармонике (основной тон) на всей длине струны $l$ укладывается ровно одна пучность, то есть половина длины волны $\lambda$: | | Поскольку гитарная струна жестко закреплена с обоих концов, на этих концах должны образовываться узлы стоячей волны. На первой гармонике (основной тон) на всей длине струны $l$ укладывается ровно одна пучность, то есть половина длины волны $\lambda$: |
| $$l = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 2l$$ | | $$l = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 2l$$ |
| | | |
| <b>3. Связь частоты, длины волны и скорости</b> | | <b>3. Связь частоты, длины волны и скорости</b> |
| | | |
| По определению, скорость распространения волны связана с её длиной и частотой формулой: | | По определению, скорость распространения волны связана с её длиной и частотой формулой: |
| $$v = \lambda \nu$$ | | $$v = \lambda \nu$$ |
| Подставляя сюда выражение для длины волны, получаем скорость волны на первой гармонике: | | Подставляя сюда выражение для длины волны, получаем скорость волны на первой гармонике: |
| $$v = 2l\nu$$ | | $$v = 2l\nu$$ |
| | | |
| <b>4. Вывод итоговой формулы</b> | | <b>4. Вывод итоговой формулы</b> |
| | | |
| Приравняем два выражения для скорости волны: | | Приравняем два выражения для скорости волны: |
| $$2l\nu = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$ | | $$2l\nu = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$ |
| Отсюда выразим искомую силу натяжения $F$. Возведем обе части уравнения в квадрат: | | Отсюда выразим искомую силу натяжения $F$. Возведем обе части уравнения в квадрат: |
| $$4l^2\nu^2 = \frac{F}{\mu}$$ | | $$4l^2\nu^2 = \frac{F}{\mu}$$ |
| $$F = 4\mu l^2\nu^2$$ | | $$F = 4\mu l^2\nu^2$$ |
| | | |
| <b>5. Расчет</b> | | <b>5. Расчет</b> |
| | | |
| Переведем все величины в систему СИ: | | Переведем все величины в систему СИ: |
| | | |
| $l = 60 \text{ см} = 0,6 \text{ м}$ | | $l = 60 \text{ см} = 0,6 \text{ м}$ |
| | | |
| $\mu = 0,1 \text{ г/см} = \frac{0,1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{10^{-2} \text{ м}} = 0,01 \text{ кг/м}$ | | $\mu = 0,1 \text{ г/см} = \frac{0,1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{10^{-2} \text{ м}} = 0,01 \text{ кг/м}$ |
| | | |
| $\nu = 100 \text{ Гц}$ | | $\nu = 100 \text{ Гц}$ |
| | | |
| Подставляем значения в нашу формулу: | | Подставляем значения в нашу формулу: |
| $$F = 4 \cdot 0,01 \cdot (0,6)^2 \cdot 100^2 = 4 \cdot 0,01 \cdot 0,36 \cdot 10000 = 144 \text{ Н}$$ | | $$F = 4 \cdot 0,01 \cdot (0,6)^2 \cdot 100^2 = 4 \cdot 0,01 \cdot 0,36 \cdot 10000 = 144 \text{ Н}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| $F = 144 \text{ Н}$ | | $F = 144 \text{ Н}$ |
| | | |
| ### Вывод основной формулы: | | ### Вывод основной формулы: |
| Пусть мы имеем волновой импульс, распространяющийся в жидкости или газе. Труба заполнена жидкостью, в которой \(t\) = 0 плотность \(ρ\) и давление \(p0\). В момент времени \(t\) = 0 поршень в конце трубы начинает двигаться вправо со скоростью \(U'\), сжимая перед сообой среду. Передний фронт области сжатия движется с характерной скоростью \(U\). Будем считать, что \(U\)>>\(U'\). За время t передний форнт сжатия проходит \(U*t\), а задний фронт \(U'*t\). Поршень увеличивает концентрацию газа в области контакта за счёт уменьшения объёма, а значит увеличивает давлениу. \(p\)=\(nkT\). Чтобы разогнать покоящийся газ до скорости \(v^{\prime }\), его нужно толкнуть. Толкает именно избыток давления \(\Delta P\). Пусть давление в области сжатия \(p0+\Delta P\) на \(\Delta P\) больше, чем в невозмущённой среде. Чтобы переместить поршень вправо к нему нужно приложить (\(p0+\Delta P\)) \(*S\). | | Пусть мы имеем волновой импульс, распространяющийся в жидкости или газе. Труба заполнена жидкостью, в которой \(t\) = 0 плотность \(ρ\) и давление \(p0\). В момент времени \(t\) = 0 поршень в конце трубы начинает двигаться вправо со скоростью \(U'\), сжимая перед сообой среду. Передний фронт области сжатия движется с характерной скоростью \(U\). Будем считать, что \(U\)>>\(U'\). За время t передний форнт сжатия проходит \(U*t\), а задний фронт \(U'*t\). Поршень увеличивает концентрацию газа в области контакта за счёт уменьшения объёма, а значит увеличивает давлениу. \(p\)=\(nkT\). Чтобы разогнать покоящийся газ до скорости \(v^{\prime }\), его нужно толкнуть. Толкает именно избыток давления \(\Delta P\). Пусть давление в области сжатия \(p0+\Delta P\) на \(\Delta P\) больше, чем в невозмущённой среде. Чтобы переместить поршень вправо к нему нужно приложить (\(p0+\Delta P\)) \(*S\). |
| | | |
| Результирующую силу, действующую на среду в области сжатия, можно записать в виде (\(p0+\Delta P\)) \(*S\) - \(p0*S\) = \(\Delta P\) \(*S\) То есть \(\Delta P\) \(*S\)\(\*t\) = \(ρ*S*U*t*U'\), поршень сообщает массе жидкости \(ρ*S*U*t\) скорость \(U'\) Сжимаемая поршнем среда также движется со скоростью \(U'\). Следовательно \(\Delta P\) \(\=ρUU'\). Согласно определению, модуль всестороннего сжатия В \(B=\Delta p / \Delta V / V0 = -ρUU'\/ \Delta V / V0\) | | Результирующую силу, действующую на среду в области сжатия, можно записать в виде (\(p0+\Delta P\)) \(*S\) - \(p0*S\) = \(\Delta P\) \(*S\) То есть \(\Delta P\) \(*S\)\(\*t\) = \(ρ*S*U*t*U'\), поршень сообщает массе жидкости \(ρ*S*U*t\) скорость \(U'\) Сжимаемая поршнем среда также движется со скоростью \(U'\). Следовательно \(\Delta P\) \(\=ρUU'\). Согласно определению, модуль всестороннего сжатия В \(B=\Delta p / \Delta V / V0 = -ρUU'\/ \Delta V / V0\) |
| | | |
| Скорость \(v\) (фронт) — это скорость сигнала. Она показывает, как быстро упругое возмущение (эстафета) передается от молекулы к молекуле вперед по трубе. Это скорость гребня волны. Как быстро перемещается этот гребень. | | Скорость \(v\) (фронт) — это скорость сигнала. Она показывает, как быстро упругое возмущение (эстафета) передается от молекулы к молекуле вперед по трубе. Это скорость гребня волны. Как быстро перемещается этот гребень. |
