$3.9.21.$ С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины $l = 60 \text{ см}$ и линейной плотности $\mu = 0,1 \text{ г/см}$, чтобы она звучала с частотой $\nu = 100 \text{ Гц}$ на первой гармонике, т. е. на первой резонансной частоте?
### Решение
<b>1. Скорость поперечной волны в струне</b>
Известно, что скорость распространения поперечных волн $v$ вдоль натянутой струны зависит от силы её натяжения $F$ и линейной плотности $\mu$ (массы единицы длины) по формуле:
$$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$
<b>2. Условие образования стоячей волны</b>
Поскольку гитарная струна жестко закреплена с обоих концов, на этих концах должны образовываться узлы стоячей волны. На первой гармонике (основной тон) на всей длине струны $l$ укладывается ровно одна пучность, то есть половина длины волны $\lambda$:
$$l = \frac{\lambda}{2}\implies\lambda = 2l$$
<b>3. Связь частоты, длины волны и скорости</b>
По определению, скорость распространения волны связана с её длиной и частотой формулой:
$$v = \lambda\nu$$
Подставляя сюда выражение для длины волны, получаем скорость волны на первой гармонике:
$$v = 2l\nu$$
<b>4. Вывод итоговой формулы</b>
Приравняем два выражения для скорости волны:
$$2l\nu = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$
Отсюда выразим искомую силу натяжения $F$. Возведем обе части уравнения в квадрат:
Пусть мы имеем волновой импульс, распространяющийся в жидкости или газе. Труба заполнена жидкостью, в которой \(t\) = 0 плотность \(ρ\) и давление \(p0\). В момент времени \(t\) = 0 поршень в конце трубы начинает двигаться вправо со скоростью \(U'\), сжимая перед сообой среду. Передний фронт области сжатия движется с характерной скоростью \(U\). Будем считать, что \(U\)>>\(U'\). За время t передний форнт сжатия проходит \(U*t\), а задний фронт \(U'*t\). Поршень увеличивает концентрацию газа в области контакта за счёт уменьшения объёма, а значит увеличения плотности и соответственно давления. po=pM/RT. Чтобы разогнать покоящийся газ до скорости \(v^{\prime}\), его нужно толкнуть. Толкает именно избыток давления \(\Delta P\). Пусть давление в области сжатия \(p+\Delta P\) на \(\Delta P\) больше, чем в невозмущённой среде. Чтобы переместить поршень вправо к нему нужно приложить (\(p0+\Delta P\)) \(*S\).
+
Пусть мы имеем волновой импульс, распространяющийся в жидкости или газе. Труба заполнена жидкостью, в которой \(t\) = 0 плотность \(ρ\) и давление \(p0\). В момент времени \(t\) = 0 поршень в конце трубы начинает двигаться вправо со скоростью \(U'\), сжимая перед сообой среду. Передний фронт области сжатия движется с характерной скоростью \(U\). Будем считать, что \(U\)>>\(U'\). За время t передний форнт сжатия проходит \(U*t\), а задний фронт \(U'*t\). Поршень увеличивает концентрацию газа в области контакта за счёт уменьшения объёма, а значит увеличения плотности и соответственно давления. ρ=\(pM/RT\). Чтобы разогнать покоящийся газ до скорости \(v^{\prime}\), его нужно толкнуть. Толкает именно избыток давления \(\Delta P\). Пусть давление в области сжатия \(p+\Delta P\) на \(\Delta P\) больше, чем в невозмущённой среде. Чтобы переместить поршень вправо к нему нужно приложить (\(p0+\Delta P\)) \(*S\).
Результирующую силу, действующую на среду в области сжатия, можно записать в виде (\(p0+\Delta P\)) \(*S\) - \(p0*S\) = \(\Delta P\)\(*S\) То есть \(\Delta P\)\(*S\)\(\*t\) = \(ρ*S*U'*t*U'\), поршень сообщает массе жидкости \(ρ*S*U'*t\) скорость \(U'\) Сжимаемая поршнем среда также движется со скоростью \(U'\). Следовательно \(\Delta P\)\(\=ρUU'\). Согласно определению, модуль всестороннего сжатия В \(B=\Delta p / \Delta V / V0 = -ρUU'\/ \Delta V / V0\)
Скорость \(v\) (фронт) — это скорость сигнала. Она показывает, как быстро упругое возмущение (эстафета) передается от молекулы к молекуле вперед по трубе. Это скорость гребня волны. Как быстро перемещается этот гребень.
Скорость \(v^{\prime}\) (среда) — это скорость вещества. Она показывает, с какой скоростью физически двигаются сами молекулы (вслед за поршнем), когда до них уже дошел сигнал. Это скорость самих частиц внутри волны. \(B=ρU^2\) и \(U\) = \(\sqrt B/ \sqrt ρ\).
$3.9.21.$ С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины $l = 60 \text{ см}$ и линейной плотности $\mu = 0,1 \text{ г/см}$, чтобы она звучала с частотой $\nu = 100 \text{ Гц}$ на первой гармонике, т. е. на первой резонансной частоте?
$3.9.21.$ С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины $l = 60 \text{ см}$ и линейной плотности $\mu = 0,1 \text{ г/см}$, чтобы она звучала с частотой $\nu = 100 \text{ Гц}$ на первой гармонике, т. е. на первой резонансной частоте?
### Решение
### Решение
<b>1. Скорость поперечной волны в струне</b>
<b>1. Скорость поперечной волны в струне</b>
Известно, что скорость распространения поперечных волн $v$ вдоль натянутой струны зависит от силы её натяжения $F$ и линейной плотности $\mu$ (массы единицы длины) по формуле:
Известно, что скорость распространения поперечных волн $v$ вдоль натянутой струны зависит от силы её натяжения $F$ и линейной плотности $\mu$ (массы единицы длины) по формуле:
$$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$
$$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$
<b>2. Условие образования стоячей волны</b>
<b>2. Условие образования стоячей волны</b>
Поскольку гитарная струна жестко закреплена с обоих концов, на этих концах должны образовываться узлы стоячей волны. На первой гармонике (основной тон) на всей длине струны $l$ укладывается ровно одна пучность, то есть половина длины волны $\lambda$:
Поскольку гитарная струна жестко закреплена с обоих концов, на этих концах должны образовываться узлы стоячей волны. На первой гармонике (основной тон) на всей длине струны $l$ укладывается ровно одна пучность, то есть половина длины волны $\lambda$:
$$l = \frac{\lambda}{2}\implies\lambda = 2l$$
$$l = \frac{\lambda}{2}\implies\lambda = 2l$$
<b>3. Связь частоты, длины волны и скорости</b>
<b>3. Связь частоты, длины волны и скорости</b>
По определению, скорость распространения волны связана с её длиной и частотой формулой:
По определению, скорость распространения волны связана с её длиной и частотой формулой:
$$v = \lambda\nu$$
$$v = \lambda\nu$$
Подставляя сюда выражение для длины волны, получаем скорость волны на первой гармонике:
Подставляя сюда выражение для длины волны, получаем скорость волны на первой гармонике:
$$v = 2l\nu$$
$$v = 2l\nu$$
<b>4. Вывод итоговой формулы</b>
<b>4. Вывод итоговой формулы</b>
Приравняем два выражения для скорости волны:
Приравняем два выражения для скорости волны:
$$2l\nu = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$
$$2l\nu = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$$
Отсюда выразим искомую силу натяжения $F$. Возведем обе части уравнения в квадрат:
Отсюда выразим искомую силу натяжения $F$. Возведем обе части уравнения в квадрат:
Пусть мы имеем волновой импульс, распространяющийся в жидкости или газе. Труба заполнена жидкостью, в которой \(t\) = 0 плотность \(ρ\) и давление \(p0\). В момент времени \(t\) = 0 поршень в конце трубы начинает двигаться вправо со скоростью \(U'\), сжимая перед сообой среду. Передний фронт области сжатия движется с характерной скоростью \(U\). Будем считать, что \(U\)>>\(U'\). За время t передний форнт сжатия проходит \(U*t\), а задний фронт \(U'*t\). Поршень увеличивает концентрацию газа в области контакта за счёт уменьшения объёма, а значит увеличения плотности и соответственно давления. po=pM/RT. Чтобы разогнать покоящийся газ до скорости \(v^{\prime}\), его нужно толкнуть. Толкает именно избыток давления \(\Delta P\). Пусть давление в области сжатия \(p+\Delta P\) на \(\Delta P\) больше, чем в невозмущённой среде. Чтобы переместить поршень вправо к нему нужно приложить (\(p0+\Delta P\)) \(*S\).
Пусть мы имеем волновой импульс, распространяющийся в жидкости или газе. Труба заполнена жидкостью, в которой \(t\) = 0 плотность \(ρ\) и давление \(p0\). В момент времени \(t\) = 0 поршень в конце трубы начинает двигаться вправо со скоростью \(U'\), сжимая перед сообой среду. Передний фронт области сжатия движется с характерной скоростью \(U\). Будем считать, что \(U\)>>\(U'\). За время t передний форнт сжатия проходит \(U*t\), а задний фронт \(U'*t\). Поршень увеличивает концентрацию газа в области контакта за счёт уменьшения объёма, а значит увеличения плотности и соответственно давления. ρ=\(pM/RT\). Чтобы разогнать покоящийся газ до скорости \(v^{\prime}\), его нужно толкнуть. Толкает именно избыток давления \(\Delta P\). Пусть давление в области сжатия \(p+\Delta P\) на \(\Delta P\) больше, чем в невозмущённой среде. Чтобы переместить поршень вправо к нему нужно приложить (\(p0+\Delta P\)) \(*S\).
Результирующую силу, действующую на среду в области сжатия, можно записать в виде (\(p0+\Delta P\)) \(*S\) - \(p0*S\) = \(\Delta P\)\(*S\) То есть \(\Delta P\)\(*S\)\(\*t\) = \(ρ*S*U'*t*U'\), поршень сообщает массе жидкости \(ρ*S*U'*t\) скорость \(U'\) Сжимаемая поршнем среда также движется со скоростью \(U'\). Следовательно \(\Delta P\)\(\=ρUU'\). Согласно определению, модуль всестороннего сжатия В \(B=\Delta p / \Delta V / V0 = -ρUU'\/ \Delta V / V0\)
Результирующую силу, действующую на среду в области сжатия, можно записать в виде (\(p0+\Delta P\)) \(*S\) - \(p0*S\) = \(\Delta P\)\(*S\) То есть \(\Delta P\)\(*S\)\(\*t\) = \(ρ*S*U'*t*U'\), поршень сообщает массе жидкости \(ρ*S*U'*t\) скорость \(U'\) Сжимаемая поршнем среда также движется со скоростью \(U'\). Следовательно \(\Delta P\)\(\=ρUU'\). Согласно определению, модуль всестороннего сжатия В \(B=\Delta p / \Delta V / V0 = -ρUU'\/ \Delta V / V0\)
Скорость \(v\) (фронт) — это скорость сигнала. Она показывает, как быстро упругое возмущение (эстафета) передается от молекулы к молекуле вперед по трубе. Это скорость гребня волны. Как быстро перемещается этот гребень.
Скорость \(v\) (фронт) — это скорость сигнала. Она показывает, как быстро упругое возмущение (эстафета) передается от молекулы к молекуле вперед по трубе. Это скорость гребня волны. Как быстро перемещается этот гребень.
Скорость \(v^{\prime}\) (среда) — это скорость вещества. Она показывает, с какой скоростью физически двигаются сами молекулы (вслед за поршнем), когда до них уже дошел сигнал. Это скорость самих частиц внутри волны. \(B=ρU^2\) и \(U\) = \(\sqrt B/ \sqrt ρ\).
Скорость \(v^{\prime}\) (среда) — это скорость вещества. Она показывает, с какой скоростью физически двигаются сами молекулы (вслед за поршнем), когда до них уже дошел сигнал. Это скорость самих частиц внутри волны. \(B=ρU^2\) и \(U\) = \(\sqrt B/ \sqrt ρ\).
