Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/13.4.25.md
+25 −3
| @@ -1,11 +1,33 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $13.4.25.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $13.4.25^*.$ В системе оптической связи луч лазера, передающий информацию, имеет вид конуса с углом при вершине $10^{-4}$ рад (угол расходимости). В приемном устройстве световая энергия фокусируется на фотоэлемент с помощью линзы $1$ м. Оказалось, что при изменении расстояния между передатчиком и приемником с $5$ до $10$ км сигнал, принимаемый с фотоэлемента, уменьшился в два раза (из-за поглощения света в атмосфере). Во сколько раз изменится сигнал при увеличении расстояния с $10$ до $20$ км? | ||
| ### Решение | |||
| − | $13.4.25^*.$ В системе оптической связи луч лазера, передающий информацию, имеет вид конуса с углом при вершине $10^{-4}$ рад (угол расходимости). В приемном устройстве световая энергия фокусируется на фотоэлемент с помощью линзы $1$ м. Оказалось, что при изменении расстояния между передатчиком и приемником с $5$ до $10$ км сигнал, принимаемый с фотоэлемента, уменьшился в два раза (из-за поглощения света в атмосфере). Во сколько раз изменится сигнал при увеличении расстояния с $10$ до $20$ км? | ||
| + | Определим диаметр лазерного пучка на разных расстояниях. | ||
| + | На расстоянии $r_1 = 5$ км диаметр равен $d_1 = \alpha r_1 = 10^{-4} \cdot 5000 = 0,5$ м. | ||
| + | |||
| + | На расстоянии $r_2 = 10$ км диаметр равен $d_2 = \alpha r_2 = 10^{-4} \cdot 10000 = 1,0$ м. | ||
| + | |||
| + | На расстоянии $r_3 = 20$ км диаметр равен $d_3 = \alpha r_3 = 10^{-4} \cdot 20000 = 2,0$ м. | ||
| + | |||
| + | Поскольку диаметр линзы $D = 1$ м, на расстояниях $5$ км и $10$ км лазерный пучок полностью попадает в объектив ($d_1 < D$ и $d_2 = D$). Уменьшение сигнала в $2$ раза между $5$ км и $10$ км обусловлено исключительно поглощением в слое атмосферы толщиной $5$ км. | ||
| + | |||
| + | Согласно закону Бугера — Ламберта — Бера, поглощение носит экспоненциальный характер. Следовательно, прохождение каждых $5$ км атмосферы ослабляет сигнал в $2$ раза. | ||
| + | |||
| + | При увеличении расстояния с $10$ до $20$ км свет проходит дополнительные $10$ км (два слоя по $5$ км). Таким образом, из-за поглощения в атмосфере сигнал уменьшится в $2^2 = 4$ раза. | ||
| + | |||
| + | Кроме того, на расстоянии $20$ км диаметр пучка $d_3 = 2$ м превышает диаметр линзы $D = 1$ м. Доля энергии, улавливаемая линзой, пропорциональна отношению их площадей: | ||
| + | $$\frac{S_{\text{линзы}}}{S_{\text{пучка}}} = \frac{D^2}{d_3^2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$ | ||
| + | |||
| + | Это означает, что сигнал падает еще в $4$ раза из-за геометрического расширения пучка. | ||
| + | |||
| + | Общее уменьшение сигнала равно произведению обоих факторов: | ||
| + | $$N = 4 \cdot 4 = 16$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| + | $N = 16$ | ||
| + | |||
| + | <i>Примечание: в официальном ответе в задачнике допущена опечатка.</i> | ||
| @@ -1,11 +1,33 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $13.4.25.$ [Вставьте условие задачи] | $13.4.25^*.$ В системе оптической связи луч лазера, передающий информацию, имеет вид конуса с углом при вершине $10^{-4}$ рад (угол расходимости). В приемном устройстве световая энергия фокусируется на фотоэлемент с помощью линзы $1$ м. Оказалось, что при изменении расстояния между передатчиком и приемником с $5$ до $10$ км сигнал, принимаемый с фотоэлемента, уменьшился в два раза (из-за поглощения света в атмосфере). Во сколько раз изменится сигнал при увеличении расстояния с $10$ до $20$ км? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| $13.4.25^*.$ В системе оптической связи луч лазера, передающий информацию, имеет вид конуса с углом при вершине $10^{-4}$ рад (угол расходимости). В приемном устройстве световая энергия фокусируется на фотоэлемент с помощью линзы $1$ м. Оказалось, что при изменении расстояния между передатчиком и приемником с $5$ до $10$ км сигнал, принимаемый с фотоэлемента, уменьшился в два раза (из-за поглощения света в атмосфере). Во сколько раз изменится сигнал при увеличении расстояния с $10$ до $20$ км? | Определим диаметр лазерного пучка на разных расстояниях. | ||
| На расстоянии $r_1 = 5$ км диаметр равен $d_1 = \alpha r_1 = 10^{-4} \cdot 5000 = 0,5$ м. | |||
| На расстоянии $r_2 = 10$ км диаметр равен $d_2 = \alpha r_2 = 10^{-4} \cdot 10000 = 1,0$ м. | |||
| На расстоянии $r_3 = 20$ км диаметр равен $d_3 = \alpha r_3 = 10^{-4} \cdot 20000 = 2,0$ м. | |||
| Поскольку диаметр линзы $D = 1$ м, на расстояниях $5$ км и $10$ км лазерный пучок полностью попадает в объектив ($d_1 < D$ и $d_2 = D$). Уменьшение сигнала в $2$ раза между $5$ км и $10$ км обусловлено исключительно поглощением в слое атмосферы толщиной $5$ км. | |||
| Согласно закону Бугера — Ламберта — Бера, поглощение носит экспоненциальный характер. Следовательно, прохождение каждых $5$ км атмосферы ослабляет сигнал в $2$ раза. | |||
| При увеличении расстояния с $10$ до $20$ км свет проходит дополнительные $10$ км (два слоя по $5$ км). Таким образом, из-за поглощения в атмосфере сигнал уменьшится в $2^2 = 4$ раза. | |||
| Кроме того, на расстоянии $20$ км диаметр пучка $d_3 = 2$ м превышает диаметр линзы $D = 1$ м. Доля энергии, улавливаемая линзой, пропорциональна отношению их площадей: | |||
| $$\frac{S_{\text{линзы}}}{S_{\text{пучка}}} = \frac{D^2}{d_3^2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$ | |||
| Это означает, что сигнал падает еще в $4$ раза из-за геометрического расширения пучка. | |||
| Общее уменьшение сигнала равно произведению обоих факторов: | |||
| $$N = 4 \cdot 4 = 16$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $N = 16$ | |||
| <i>Примечание: в официальном ответе в задачнике допущена опечатка.</i> | |||