Решение

Определим диаметр лазерного пучка на разных расстояниях.

На расстоянии $r_1 = 5$ км диаметр равен $d_1 = \alpha r_1 = 10^{-4} \cdot 5000 = 0,5$ м.

На расстоянии $r_2 = 10$ км диаметр равен $d_2 = \alpha r_2 = 10^{-4} \cdot 10000 = 1,0$ м.

На расстоянии $r_3 = 20$ км диаметр равен $d_3 = \alpha r_3 = 10^{-4} \cdot 20000 = 2,0$ м.

Поскольку диаметр линзы $D = 1$ м, на расстояниях $5$ км и $10$ км лазерный пучок полностью попадает в объектив ($d_1 < D$ и $d_2 = D$). Уменьшение сигнала в $2$ раза между $5$ км и $10$ км обусловлено исключительно поглощением в слое атмосферы толщиной $5$ км.

Согласно закону Бугера — Ламберта — Бера, поглощение носит экспоненциальный характер. Следовательно, прохождение каждых $5$ км атмосферы ослабляет сигнал в $2$ раза.

При увеличении расстояния с $10$ до $20$ км свет проходит дополнительные $10$ км (два слоя по $5$ км). Таким образом, из-за поглощения в атмосфере сигнал уменьшится в $2^2 = 4$ раза.

Кроме того, на расстоянии $20$ км диаметр пучка $d_3 = 2$ м превышает диаметр линзы $D = 1$ м. Доля энергии, улавливаемая линзой, пропорциональна отношению их площадей:
$$\frac{S_{\text{линзы}}}{S_{\text{пучка}}} = \frac{D^2}{d_3^2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

Это означает, что сигнал падает еще в $4$ раза из-за геометрического расширения пучка.

Общее уменьшение сигнала равно произведению обоих факторов:
$$N = 4 \cdot 4 = 16$$