Решение

Это прямое продолжение задачи $3.8.17$. В той задаче получили, что на выходе единичный входной сигнал дает ряд равноотстоящих друг отдруга эхо-сигналов. Остается накладывать на них следующие входные сигналы.

Это получится, когда каждый следующий входной сигнал будет достигать левой границы (входная) одновременно с приходящим отраженным от правой границы сигналом внутри стены. Два отражения единичного сигнала внутри стены восстанавливают форму бегущей синусоиды как входной сигнал и очередной входной накладывается синфазно с отраженным от левой границы.

Поэтому следовать входные должны на межсоседнем расстоянии

$$L = c_1\frac{2l}{c_2}.$$

Чтобы была видна последовательность сделаем полностью как в задаче $3.8.17$ через так называемые циклы. Произведения $\rho_1c_1,\rho_2c_2$ обозначаем $x_1,x_2$.

• Цикл $0$. Особенный цикл. Волна впервые вошла в среду $2$. Начальная амплитуда $A$ в первой среде. Ее амплитуда в среде $2$ стала
  $$A_2^{(0)} = A\cdot\underset{1\to 2}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{2x_1}{x_1 + x_2}.$$
  где $\underset{1\to 2}{k_{A\text{пр}}}$ есть коэффициент прохождения по амплитуде (задача $3.8.14$) из среды $1$ в $2$. Далее аналогично.

• Цикл $1$. Волна проходит снова в среду $1$ двигаясь в ту же сторону:
  $$\boxed{A_1^{(1)} = A_2^{(0)}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{4x_1x_2}{\left(x_1 + x_2\right)^2}.}$$
  И генерируется отраженная в том месте в обратную сторону двигающаяся с амплитудой
  $$A_2^{(1)} = A_2^{(0)}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}} = A\frac{2x_1\left(x_2 - x_1\right)}{\left(x_1 + x_2\right)^2}.$$
  На левой границе опять генерируется отраженная, двигающаяся уже как изначальная и на нее накладывается очередная проходящая входная:
  $$A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}= A_2^{(1)}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}} + A_2^{(0)} = A\frac{2x_1}{x_1 + x_2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2}\right).$$

• Цикл $2$. Сигнал с $A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}$ проходит в среду $1$ как в начале цикла $1$.
  $$\boxed{A_1^{(2)} = A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{4x_1x_2}{(x_1 + x_2)^2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2}\right).}$$
  Далее еще отражение сигнала с $A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}$ от правой границы, потом отражение от левой отраженного при таких же условиях и наложение очередной проходящей:
  $$A_2^{(2)}\hphantom{}'^{*} = A_2^{(1)}\hphantom{}'^{*}\cdot\left(\underset{2\to 1}{k_{A\text{от}}}\right)^2 + A_2^{(0)} = A\frac{2x_2}{x_1 + x_2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2} + \frac{(x_2 - x_1)^4}{(x_1 + x_2)^4}\right)$$

• Цикл $3$. Сигнал с $A_2^{(2)}\hphantom{}'^{*}$ проходит в среду $1$ как в начале обычного цикла.
  $$\boxed{A_1^{(3)} = A_2^{(2)}\hphantom{}'^{*}\cdot\underset{2\to 1}{k_{A\text{пр}}} = A\frac{4x_1x_2}{(x_1 + x_2)^2}\left(1 + \frac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2} + \frac{(x_2 - x_1)^4}{(x_1 + x_2)^4}\right).}$$

Смотрим на формулы в рамках и видим, что проходящая выходная амплитуда растет по убывающей геометрической прогрессии.

На бесконечном цикле (используем формулу суммы для бесконечно убывающей прогрессии)
$$A_1^{(\infty)} = A\frac{4x_1x_2}{(x_1 + x_2)^2}\frac{1}{1 - \dfrac{(x_2 - x_1)^2}{(x_1 + x_2)^2}},$$

что после упрощения дает

$$\boxed{A_1^{(\infty)} = A.}$$

Амплитуда $A_2^{(\infty)}$ будет максимальной среди последовательных выходных, тогда отношение максимальной амплитуды из этих сигналов к амплитуде падающего сигнала равно

$$\boxed{\frac{A_1^{(\infty)}}{A} = 1.}$$

Синусоидальную волну можно рассматривать как непрерывное множество последовательностей сигналов с межсоседним расстоянием $L$, тогда ответ не изменится.