$7.2.13.$ Определите разность потенциалов на обкладках конденсатора, если ленточный пучок протонов, перпендикулярный обкладкам и прошедший две узкие параллельные щели, сфокусировался на расстоянии $l$ от второй обкладки. Протоны были ускорены разностью потенциалов $V_0$. Расстояние между обкладками конденсатора $d$. Первая обкладка заземлена, $l \gg d$.
−
### Решение
+
### Приближенное решение
−
Метод линз. В основе решения то, что в сечении, перпендикулярном щели и пластинам, протоны фокусируются как линзой (см. @emixter's альтернативное решение $7.2.10$ и др. задачи этих разделов через подход линзы).
+
Метод линз (решение второй очереди). В основе решения то, что в сечении, перпендикулярном щели и пластинам, протоны фокусируются как линзой (см. @emixter's альтернативное решение $7.2.10$ и др. задачи этих разделов через подход линзы).
#### Фокус щели
Форма искривления поля вблизи щели аналогична форме искривления поля по задаче $7.2.12$, если для расчета использовать параллелепипед как в задаче $7.2.12$, одна грань которого в плоскости щели, а противовположная грань в месте начала искривления поля. Поэтому используем результат $7.2.12$.
Пролетая щель протон получает поперечную скорость
$$
v_\perp = \frac{e}{mv}\frac{Vy}{2d},
$$
где $v$ есть продольная скорость, $V$ есть напряжение конденсатора, $y$ есть размер параллелепипеда для теоремы Гаусса вдоль оси, перпендикулярной щели и основному полю. (Заметим, что параллелепипед взят с $y$, равным двойному расстоянию до плоскости симметрии щели, так что через две грани, идущие параллельно плоскости симметрии, есть два(!) равных потока напряженности по симметрии.)
Время дохода протона до плоскости симметрии щели
$$
\tau = \frac{\frac{y}{2}}{v_\perp},
$$
с другой стороны,
$$
\tau = \frac{\ell}{v},
$$
где $\ell$ есть так называемое фокусное расстояние щели для этого протона (на сколько он удалится от линзы при попадании на плоскость симметрии щели).
Предыдущие два дают с учетом $K = \dfrac{mv^2}{2}$
$$
\boxed{\frac{1}{\ell} = \frac{eV}{2Kd}.}\tag{1}
$$
Получена связь фокусного расстояния щели с параметрами системы.
#### Общее фокусное
Пусть незаземленная пластина имеет <i>отрицательный</i> потенциал.
Фокусное удаление $F^* \equiv l$ после прохождения двух линз ($7.2.10$) с учетом знака линзирования
где $\ell_1,\ell_2$ есть фокусные расстояния щели $1$ и $2$ по порядку пролета (формула из оптики для оптической системы из двух линз, разведенных на расстояние $d$).
@@ -58,16 +58,16 @@Общее фокусное
Подставив $(1)$ в эту формулу и учитывая, что соответствующие продольные кинетические энергии $K_1,K_2$ для двух щелей разные и $K_2 - K_1 = eV$, получаем после упрощения и связи $K_1 = eV_0$
V = \frac{2V_0d}{3l}\left(1 \pm\sqrt{\frac{3}{ld}}\frac{6l + d}{6}\right).
$$
−
Сложное слагаемое в скобках порядка $\sqrt{l/d}\gg 1$, поэтому единицей пренебрегаем и знак оставляем положительный (напряжения считали в модулях).
+
Рассматривая приближение $V \ll V_0$, видим что $(2)$ требует $l \ggg d$ (много и еще раз много больше; $d$ величина второго(!) порядка малости по сравнению с $l$). Тогда сложное слагаемое в скобках порядка $\sqrt{l/d}\gg 1$, поэтому единицей пренебрегаем и знак оставляем положительный (напряжения считали в модулях).
После этого уже величинами первого порядка малости пренебрегаем и получаем
$$
\boxed{V = 2V_0 \sqrt{\frac{d}{3l}}.}
$$
#### Ответ
$$
V = 2V_0 \sqrt{\frac{d}{3l}}.
$$
ещё строк без изменений 10
@@ -1,11 +1,11 @@
### Условие
### Условие
$7.2.13.$ Определите разность потенциалов на обкладках конденсатора, если ленточный пучок протонов, перпендикулярный обкладкам и прошедший две узкие параллельные щели, сфокусировался на расстоянии $l$ от второй обкладки. Протоны были ускорены разностью потенциалов $V_0$. Расстояние между обкладками конденсатора $d$. Первая обкладка заземлена, $l \gg d$.
$7.2.13.$ Определите разность потенциалов на обкладках конденсатора, если ленточный пучок протонов, перпендикулярный обкладкам и прошедший две узкие параллельные щели, сфокусировался на расстоянии $l$ от второй обкладки. Протоны были ускорены разностью потенциалов $V_0$. Расстояние между обкладками конденсатора $d$. Первая обкладка заземлена, $l \gg d$.
### Решение
### Приближенное решение
Метод линз. В основе решения то, что в сечении, перпендикулярном щели и пластинам, протоны фокусируются как линзой (см. @emixter's альтернативное решение $7.2.10$ и др. задачи этих разделов через подход линзы).
Метод линз (решение второй очереди). В основе решения то, что в сечении, перпендикулярном щели и пластинам, протоны фокусируются как линзой (см. @emixter's альтернативное решение $7.2.10$ и др. задачи этих разделов через подход линзы).
#### Фокус щели
#### Фокус щели
Форма искривления поля вблизи щели аналогична форме искривления поля по задаче $7.2.12$, если для расчета использовать параллелепипед как в задаче $7.2.12$, одна грань которого в плоскости щели, а противовположная грань в месте начала искривления поля. Поэтому используем результат $7.2.12$.
Форма искривления поля вблизи щели аналогична форме искривления поля по задаче $7.2.12$, если для расчета использовать параллелепипед как в задаче $7.2.12$, одна грань которого в плоскости щели, а противовположная грань в месте начала искривления поля. Поэтому используем результат $7.2.12$.
Пролетая щель протон получает поперечную скорость
Пролетая щель протон получает поперечную скорость
$$
$$
v_\perp = \frac{e}{mv}\frac{Vy}{2d},
v_\perp = \frac{e}{mv}\frac{Vy}{2d},
$$
$$
где $v$ есть продольная скорость, $V$ есть напряжение конденсатора, $y$ есть размер параллелепипеда для теоремы Гаусса вдоль оси, перпендикулярной щели и основному полю. (Заметим, что параллелепипед взят с $y$, равным двойному расстоянию до плоскости симметрии щели, так что через две грани, идущие параллельно плоскости симметрии, есть два(!) равных потока напряженности по симметрии.)
где $v$ есть продольная скорость, $V$ есть напряжение конденсатора, $y$ есть размер параллелепипеда для теоремы Гаусса вдоль оси, перпендикулярной щели и основному полю. (Заметим, что параллелепипед взят с $y$, равным двойному расстоянию до плоскости симметрии щели, так что через две грани, идущие параллельно плоскости симметрии, есть два(!) равных потока напряженности по симметрии.)
Время дохода протона до плоскости симметрии щели
Время дохода протона до плоскости симметрии щели
$$
$$
\tau = \frac{\frac{y}{2}}{v_\perp},
\tau = \frac{\frac{y}{2}}{v_\perp},
$$
$$
с другой стороны,
с другой стороны,
$$
$$
\tau = \frac{\ell}{v},
\tau = \frac{\ell}{v},
$$
$$
где $\ell$ есть так называемое фокусное расстояние щели для этого протона (на сколько он удалится от линзы при попадании на плоскость симметрии щели).
где $\ell$ есть так называемое фокусное расстояние щели для этого протона (на сколько он удалится от линзы при попадании на плоскость симметрии щели).
Предыдущие два дают с учетом $K = \dfrac{mv^2}{2}$
Предыдущие два дают с учетом $K = \dfrac{mv^2}{2}$
$$
$$
\boxed{\frac{1}{\ell} = \frac{eV}{2Kd}.}\tag{1}
\boxed{\frac{1}{\ell} = \frac{eV}{2Kd}.}\tag{1}
$$
$$
Получена связь фокусного расстояния щели с параметрами системы.
Получена связь фокусного расстояния щели с параметрами системы.
#### Общее фокусное
#### Общее фокусное
Пусть незаземленная пластина имеет <i>отрицательный</i> потенциал.
Пусть незаземленная пластина имеет <i>отрицательный</i> потенциал.
Фокусное удаление $F^* \equiv l$ после прохождения двух линз ($7.2.10$) с учетом знака линзирования
Фокусное удаление $F^* \equiv l$ после прохождения двух линз ($7.2.10$) с учетом знака линзирования
где $\ell_1,\ell_2$ есть фокусные расстояния щели $1$ и $2$ по порядку пролета (формула из оптики для оптической системы из двух линз, разведенных на расстояние $d$).
где $\ell_1,\ell_2$ есть фокусные расстояния щели $1$ и $2$ по порядку пролета (формула из оптики для оптической системы из двух линз, разведенных на расстояние $d$).
@@ -58,16 +58,16 @@Общее фокусное
Подставив $(1)$ в эту формулу и учитывая, что соответствующие продольные кинетические энергии $K_1,K_2$ для двух щелей разные и $K_2 - K_1 = eV$, получаем после упрощения и связи $K_1 = eV_0$
Подставив $(1)$ в эту формулу и учитывая, что соответствующие продольные кинетические энергии $K_1,K_2$ для двух щелей разные и $K_2 - K_1 = eV$, получаем после упрощения и связи $K_1 = eV_0$
V = \frac{2V_0d}{3l}\left(1 \pm\sqrt{\frac{3}{ld}}\frac{6l + d}{6}\right).
V = \frac{2V_0d}{3l}\left(1 \pm\sqrt{\frac{3}{ld}}\frac{6l + d}{6}\right).
$$
$$
Сложное слагаемое в скобках порядка $\sqrt{l/d}\gg 1$, поэтому единицей пренебрегаем и знак оставляем положительный (напряжения считали в модулях).
Рассматривая приближение $V \ll V_0$, видим что $(2)$ требует $l \ggg d$ (много и еще раз много больше; $d$ величина второго(!) порядка малости по сравнению с $l$). Тогда сложное слагаемое в скобках порядка $\sqrt{l/d}\gg 1$, поэтому единицей пренебрегаем и знак оставляем положительный (напряжения считали в модулях).
После этого уже величинами первого порядка малости пренебрегаем и получаем
После этого уже величинами первого порядка малости пренебрегаем и получаем
