Правка разделов «Решение», «1. Отклонение протона в поле первой щели», «2. Движение между пластинами»

Valter правка от
Посмотреть решение История
правка #22198 предыдущая #22197 ← раньше позже →
ru/7.2.13.md +511 −0
@@ -1,7 +1,518 @@
### Условие
$7.2.13.$ Определите разность потенциалов на обкладках конденсатора, если ленточный пучок протонов, перпендикулярный обкладкам и прошедший две узкие параллельные щели, сфокусировался на расстоянии $l$ от второй обкладки. Протоны были ускорены разностью потенциалов $V_0$. Расстояние между обкладками конденсатора $d$. Первая обкладка заземлена, $l \gg d$.
+### Решение
+
+Рассмотрим движение одного протона, находящегося на небольшом расстоянии $x$ от оси пучка.
+
+Пусть первая пластина заземлена, а потенциал второй равен $V$. Тогда между пластинами существует электрическое поле порядка
+
+$$
+E=\frac{V}{d}.
+$$
+
+Протоны до попадания в конденсатор были ускорены разностью потенциалов $V_0$, поэтому их начальная кинетическая энергия равна
+
+$$
+K_0=eV_0.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\frac{mv_0^2}{2}=eV_0.
+$$
+
+Будем считать, что $V>0$, поэтому при движении от первой пластины ко второй положительные протоны тормозятся.
+
+По условию фокус находится на расстоянии
+
+$$
+l\gg d,
+$$
+
+следовательно, фокусирующее действие системы слабое. В дальнейшем это позволит использовать приближение
+
+$$
+\frac{V}{V_0}\ll1.
+$$
+
+Для удобства введём обозначение
+
+$$
+\varepsilon=\frac{V}{V_0}.
+$$
+
+---
+
+#### 1. Отклонение протона в поле первой щели
+
+Вдали от щели электрическое поле направлено перпендикулярно пластинам. Однако вблизи узкой щели силовые линии искривляются, поэтому появляется небольшая поперечная составляющая поля $E_{\perp}$.
+
+Рассмотрим область краевого поля первой щели. Для протона, находящегося на расстоянии $x$ от оси, интеграл поперечной составляющей поля по продольной координате имеет порядок
+
+$$
+\int E_{\perp}\,dz=\frac{V}{d}x.
+$$
+
+Изменение поперечного импульса протона равно
+
+$$
+\Delta p_{\perp}=\int F_{\perp}\,dt.
+$$
+
+Так как
+
+$$
+F_{\perp}=eE_{\perp},
+$$
+
+получаем
+
+$$
+\Delta p_{\perp}=e\int E_{\perp}\,dt.
+$$
+
+Область краевого поля узкая, поэтому продольную скорость при прохождении этой области можно считать практически постоянной:
+
+$$
+dt=\frac{dz}{v}.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\Delta p_{\perp}=\frac{e}{v}\int E_{\perp}\,dz.
+$$
+
+Используя найденный интеграл поля,
+
+$$
+|\Delta p_{\perp}|=\frac{eVx}{dv}.
+$$
+
+Пусть исходное расстояние протона от оси равно $x_0$. Перед первой щелью его скорость равна $v_0$, поэтому
+
+$$
+p_{\perp1}=\frac{eVx_0}{dv_0}.
+$$
+
+Так как угол отклонения мал,
+
+$$
+\theta_1\simeq\frac{p_{\perp1}}{mv_0}.
+$$
+
+Отсюда
+
+$$
+\theta_1=\frac{eVx_0}{dmv_0^2}.
+$$
+
+Но
+
+$$
+mv_0^2=2eV_0.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\theta_1=\frac{Vx_0}{2V_0d}.
+$$
+
+Или через $\varepsilon$,
+
+$$
+\boxed{\theta_1=\frac{\varepsilon x_0}{2d}}.
+$$
+
+Первая щель слегка отклоняет протон от оси.
+
+---
+
+#### 2. Движение между пластинами
+
+Между пластинами поле практически однородно и направлено вдоль оси движения. Поэтому поперечной силы здесь нет, а поперечный импульс сохраняется:
+
+$$
+p_{\perp}=\text{const}.
+$$
+
+Однако продольная скорость протона уменьшается, поскольку положительный протон движется в сторону более высокого потенциала.
+
+На расстоянии $z$ от первой пластины потенциал равен
+
+$$
+\varphi(z)=\frac{V}{d}z.
+$$
+
+Из закона сохранения энергии
+
+$$
+\frac{mv^2(z)}{2}+e\varphi(z)=eV_0.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\frac{mv^2(z)}{2}=eV_0-e\frac{V}{d}z.
+$$
+
+Вынося $eV_0$, получаем
+
+$$
+\frac{mv^2(z)}{2}=eV_0\left(1-\varepsilon\frac{z}{d}\right).
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+v(z)=v_0\sqrt{1-\varepsilon\frac{z}{d}}.
+$$
+
+Поперечный импульс после первой щели сохраняется, поэтому поперечная скорость равна
+
+$$
+v_{\perp}=\theta_1v_0.
+$$
+
+Следовательно, наклон траектории внутри конденсатора определяется выражением
+
+$$
+\frac{dx}{dz}=\frac{v_{\perp}}{v(z)}.
+$$
+
+Подставляя $v_{\perp}$ и $v(z)$,
+
+$$
+\frac{dx}{dz}=\frac{\theta_1}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.
+$$
+
+Теперь найдём координату протона непосредственно перед второй щелью:
+
+$$
+x_2-x_0=\int_0^d\frac{\theta_1\,dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.
+$$
+
+Выносим $\theta_1$:
+
+$$
+x_2-x_0=\theta_1\int_0^d\frac{dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}.
+$$
+
+Вычислим интеграл:
+
+$$
+\int_0^d\frac{dz}{\sqrt{1-\varepsilon z/d}}=\frac{2d}{\varepsilon}\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+x_2-x_0=\theta_1\frac{2d}{\varepsilon}\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).
+$$
+
+Используя
+
+$$
+\theta_1=\frac{\varepsilon x_0}{2d},
+$$
+
+получаем
+
+$$
+x_2-x_0=x_0\left(1-\sqrt{1-\varepsilon}\right).
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+\boxed{x_2=x_0\left(2-\sqrt{1-\varepsilon}\right)}.
+$$
+
+---
+
+#### 3. Наклон траектории перед второй щелью
+
+Перед второй пластиной кинетическая энергия протона равна
+
+$$
+K_2=e(V_0-V).
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\frac{mv_2^2}{2}=e(V_0-V).
+$$
+
+Используя $\varepsilon=V/V_0$, получаем
+
+$$
+v_2=v_0\sqrt{1-\varepsilon}.
+$$
+
+Поперечный импульс между пластинами не меняется, поэтому непосредственно перед второй щелью
+
+$$
+\theta_{2-}=\frac{p_{\perp1}}{mv_2}.
+$$
+
+Но
+
+$$
+\frac{p_{\perp1}}{mv_0}=\theta_1.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\theta_{2-}=\theta_1\frac{v_0}{v_2}.
+$$
+
+Отсюда
+
+$$
+\boxed{\theta_{2-}=\frac{\varepsilon x_0}{2d\sqrt{1-\varepsilon}}}.
+$$
+
+---
+
+#### 4. Отклонение во второй щели
+
+Вторая щель отклоняет протон в противоположную сторону, то есть к оси.
+
+Используем ту же формулу для изменения поперечного импульса:
+
+$$
+|\Delta p_{\perp2}|=\frac{eVx_2}{dv_2}.
+$$
+
+Изменение угла равно
+
+$$
+|\Delta\theta_2|=\frac{|\Delta p_{\perp2}|}{mv_2}.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+|\Delta\theta_2|=\frac{eVx_2}{dmv_2^2}.
+$$
+
+Но
+
+$$
+mv_2^2=2e(V_0-V).
+$$
+
+Поэтому
+
+$$
+|\Delta\theta_2|=\frac{Vx_2}{2d(V_0-V)}.
+$$
+
+Через $\varepsilon$ это можно записать как
+
+$$
+\boxed{|\Delta\theta_2|=\frac{\varepsilon x_2}{2d(1-\varepsilon)}}.
+$$
+
+Поскольку отклонение второй щели направлено к оси,
+
+$$
+\theta_{\text{out}}=\theta_{2-}-|\Delta\theta_2|.
+$$
+
+Подставляя найденные выражения,
+
+$$
+\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{2d\sqrt{1-\varepsilon}}-\frac{\varepsilon x_2}{2d(1-\varepsilon)}.
+$$
+
+Используем
+
+$$
+x_2=x_0\left(2-\sqrt{1-\varepsilon}\right).
+$$
+
+Тогда
+
+$$
+\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{2d}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon}}-\frac{2-\sqrt{1-\varepsilon}}{1-\varepsilon}\right].
+$$
+
+Обозначим
+
+$$
+s=\sqrt{1-\varepsilon}.
+$$
+
+Тогда
+
+$$
+1-\varepsilon=s^2.
+$$
+
+Выражение в квадратных скобках становится
+
+$$
+\frac{1}{s}-\frac{2-s}{s^2}.
+$$
+
+Приведём к общему знаменателю:
+
+$$
+\frac{s-(2-s)}{s^2}=\frac{2s-2}{s^2}.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\theta_{\text{out}}=\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{s-1}{s^2}.
+$$
+
+Возвращаясь к $\varepsilon$, получаем
+
+$$
+\boxed{\theta_{\text{out}}=-\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{1-\sqrt{1-\varepsilon}}{1-\varepsilon}}.
+$$
+
+Знак минус означает, что после второй щели протон движется к оси пучка.
+
+---
+
+#### 5. Использование условия $l\gg d$
+
+Так как
+
+$$
+l\gg d,
+$$
+
+система является слабой электростатической линзой, поэтому
+
+$$
+\varepsilon=\frac{V}{V_0}\ll1.
+$$
+
+Разложим корень:
+
+$$
+\sqrt{1-\varepsilon}=1-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon^2}{8}+\ldots
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+1-\sqrt{1-\varepsilon}=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon^2}{8}+\ldots
+$$
+
+В выражении для $\theta_{\text{out}}$ уже имеется один множитель $\varepsilon$, поэтому для главного ненулевого члена достаточно оставить
+
+$$
+1-\sqrt{1-\varepsilon}\simeq\frac{\varepsilon}{2},
+$$
+
+а также
+
+$$
+1-\varepsilon\simeq1.
+$$
+
+Тогда
+
+$$
+\theta_{\text{out}}\simeq-\frac{\varepsilon x_0}{d}\frac{\varepsilon}{2}.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\boxed{\theta_{\text{out}}\simeq-\frac{\varepsilon^2x_0}{2d}}.
+$$
+
+Или по модулю
+
+$$
+\boxed{|\theta_{\text{out}}|\simeq\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2}.
+$$
+
+Таким образом, эффекты первого порядка по $V/V_0$ от двух щелей взаимно компенсируются, а результирующее фокусирующее действие имеет второй порядок малости.
+
+---
+
+#### 6. Условие фокусировки
+
+После второй пластины электрическое поле практически отсутствует, поэтому протон движется прямолинейно.
+
+Если он фокусируется на расстоянии $l$ от второй пластины, то для малого угла
+
+$$
+|\theta_{\text{out}}|\simeq\frac{x_2}{l}.
+$$
+
+Поскольку
+
+$$
+x_2=x_0\left[1+O(\varepsilon)\right],
+$$
+
+а сам угол уже имеет порядок $\varepsilon^2$, в требуемом приближении можно положить
+
+$$
+x_2\simeq x_0.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+|\theta_{\text{out}}|\simeq\frac{x_0}{l}.
+$$
+
+С другой стороны,
+
+$$
+|\theta_{\text{out}}|\simeq\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.
+$$
+
+Приравнивая два выражения,
+
+$$
+\frac{x_0}{l}=\frac{x_0}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.
+$$
+
+Сокращая $x_0$,
+
+$$
+\frac{1}{l}=\frac{1}{2d}\left(\frac{V}{V_0}\right)^2.
+$$
+
+Следовательно,
+
+$$
+\left(\frac{V}{V_0}\right)^2=\frac{2d}{l}.
+$$
+
+Откуда
+
+$$
+\boxed{V=V_0\sqrt{\frac{2d}{l}}}.
+$$
+
+#### Ответ
+
+$$
+\boxed{V=V_0\sqrt{\frac{2d}{l}}}
+$$
+
+Первая щель слегка дефокусирует пучок, а вторая фокусирует его немного сильнее. Эффекты первого порядка по $V/V_0$ практически компенсируются, поэтому результирующее фокусирующее действие имеет порядок $(V/V_0)^2$.
+
+####
+
+---
### Приближенное решение
ещё строк без изменений 76