$1.3.19^*$. Какую минимальную скорость должен иметь камень, брошенный мальчиком, чтобы он перелетел дом высоты $H$ и длины $L$, если бросок совершается с высоты $h$ и для броска мальчик может выбрать любое место?
### Решение:
Оптимальная траектория, соответствующая минимально возможной скорости броска, должна почти касаться краев дома. Минимум скорости камня в точке бросания соответствует минимальной кинетической энергии камня в точке касания с краем дома.
Таким образом, задача сводится к определению минимальной скорости камня в верхней угловой точке дома, достаточно для того, чтобы преодолеть расстояние, равное длине дома $L$ — камень должен в этом месте иметь скорость, направленную под углом $45^{ \\circ}$ к горизонту. Скорость камня в этой точке определяется известным соотношением:
$$
L = \\frac{v^{2} \\sin 2\\alpha}{g}
$$
С учетом выбранного угла получим
$$
v^{2} = gL
$$
Скорость в точке броска $u$ найдется из закона сохранения энергии:
$$
\\frac{mu^{2}}{2} + mgh = \\frac{mv^{2}}{2} + mgH
$$
$$
u=\\sqrt{g(2(H-h)+L)}
$$
#### Ответ: $v=\\sqrt{g[2(H-h)+L]}$
### Альтернативное решение:
@@ -35,3 +35,63 @@Альтернативное решение:
+
### Альтернативное решение
+
+
Дополнение для случая $h \geqslant H$. Векторный метод, использование связей площадей векторных треугольников. Обращение времени, ищем минимальную скорость $V_0$ выбрасывания тела с дальнего угла с обеспечением горизонтального пролета $L$ и поднятием на высоту $\Delta = h - H$ над уровнем крыши.
+
+
Построим произвольный треугольник перемещений деленный на время процесса $T$ по долету до бросавшего ($L'$ есть дальность полета).
+
+
+
+
Оказывается <i>его площадь равна половине площади треугольника скоростей</i> (посмотрите), который покажем ниже качественно.
+
+
+
+
Равенство площадей указанных, с учетом для конечной скорости $V = V_0^2 - 2g\Delta$ и ключевым углом $\beta$ между $V_0, V$:
По закону сохранения вне зависимости направления времени это дает минимум скорости в точке начала.
+
+
При $h = H$ получаем согласие с случаем решения при $h < H$.
+
+
+
#### Литература
+
+
[1] Геометрические идеи при решении баллистических задач. А. А. Коновалов. Потенциал, 2013, № 1.
+
+
[2] И. Яковлев. Баллистика. Векторы. mathus.ru.
+
+
[3] И. Яковлев. Векторы и механика. mathus.ru.
### Условие:
### Условие:
$1.3.19^*$. Какую минимальную скорость должен иметь камень, брошенный мальчиком, чтобы он перелетел дом высоты $H$ и длины $L$, если бросок совершается с высоты $h$ и для броска мальчик может выбрать любое место?
$1.3.19^*$. Какую минимальную скорость должен иметь камень, брошенный мальчиком, чтобы он перелетел дом высоты $H$ и длины $L$, если бросок совершается с высоты $h$ и для броска мальчик может выбрать любое место?
### Решение:
### Решение:
Оптимальная траектория, соответствующая минимально возможной скорости броска, должна почти касаться краев дома. Минимум скорости камня в точке бросания соответствует минимальной кинетической энергии камня в точке касания с краем дома.
Оптимальная траектория, соответствующая минимально возможной скорости броска, должна почти касаться краев дома. Минимум скорости камня в точке бросания соответствует минимальной кинетической энергии камня в точке касания с краем дома.
Таким образом, задача сводится к определению минимальной скорости камня в верхней угловой точке дома, достаточно для того, чтобы преодолеть расстояние, равное длине дома $L$ — камень должен в этом месте иметь скорость, направленную под углом $45^{ \\circ}$ к горизонту. Скорость камня в этой точке определяется известным соотношением:
Таким образом, задача сводится к определению минимальной скорости камня в верхней угловой точке дома, достаточно для того, чтобы преодолеть расстояние, равное длине дома $L$ — камень должен в этом месте иметь скорость, направленную под углом $45^{ \\circ}$ к горизонту. Скорость камня в этой точке определяется известным соотношением:
$$
$$
L = \\frac{v^{2} \\sin 2\\alpha}{g}
L = \\frac{v^{2} \\sin 2\\alpha}{g}
$$
$$
С учетом выбранного угла получим
С учетом выбранного угла получим
$$
$$
v^{2} = gL
v^{2} = gL
$$
$$
Скорость в точке броска $u$ найдется из закона сохранения энергии:
Скорость в точке броска $u$ найдется из закона сохранения энергии:
$$
$$
\\frac{mu^{2}}{2} + mgh = \\frac{mv^{2}}{2} + mgH
\\frac{mu^{2}}{2} + mgh = \\frac{mv^{2}}{2} + mgH
$$
$$
$$
$$
u=\\sqrt{g(2(H-h)+L)}
u=\\sqrt{g(2(H-h)+L)}
$$
$$
#### Ответ: $v=\\sqrt{g[2(H-h)+L]}$
#### Ответ: $v=\\sqrt{g[2(H-h)+L]}$
### Альтернативное решение:
### Альтернативное решение:
@@ -35,3 +35,63 @@Альтернативное решение:
### Альтернативное решение
Дополнение для случая $h \geqslant H$. Векторный метод, использование связей площадей векторных треугольников. Обращение времени, ищем минимальную скорость $V_0$ выбрасывания тела с дальнего угла с обеспечением горизонтального пролета $L$ и поднятием на высоту $\Delta = h - H$ над уровнем крыши.
Построим произвольный треугольник перемещений деленный на время процесса $T$ по долету до бросавшего ($L'$ есть дальность полета).
Оказывается <i>его площадь равна половине площади треугольника скоростей</i> (посмотрите), который покажем ниже качественно.
Равенство площадей указанных, с учетом для конечной скорости $V = V_0^2 - 2g\Delta$ и ключевым углом $\beta$ между $V_0, V$:
