1.3.19∗. Какую минимальную скорость должен иметь камень, брошенный мальчиком, чтобы он перелетел дом высоты $H$ и длины $L$, если бросок совершается с высоты $h$ и для броска мальчик может выбрать любое место?
Решение
Оптимальная траектория, соответствующая минимально возможной скорости броска, должна почти касаться краев дома. Минимум скорости камня в точке бросания соответствует минимальной кинетической энергии камня в точке касания с краем дома.
Таким образом, задача сводится к определению минимальной скорости камня в верхней угловой точке дома, достаточно для того, чтобы преодолеть расстояние, равное длине дома $L$ — камень должен в этом месте иметь скорость, направленную под углом $45^{ \circ}$ к горизонту. Скорость камня в этой точке определяется известным соотношением:
$$L = \frac{v^{2} \sin 2\alpha}{g}$$
С учетом выбранного угла получим
$$v^{2} = gL$$
Скорость в точке броска $u$ найдется из закона сохранения энергии:
Дополнение для случая $h \geqslant H$. Векторный метод, использование связей площадей векторных треугольников. Обращение времени, ищем минимальную скорость $V_0$ выбрасывания тела с дальнего угла с обеспечением горизонтального пролета $L$ и поднятием на высоту $\Delta = h - H$ над уровнем крыши.
Построим произвольный треугольник перемещений деленный на время процесса $T$ по долету до бросавшего ($L'$ есть дальность полета).
Оказывается его площадь равна половине площади треугольника скоростей (посмотрите), который покажем ниже качественно.
Равенство площадей указанных, с учетом для конечной скорости $V = V_0^2 - 2g\Delta$ и ключевым углом $\beta$ между $V_0, V$:
