| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> | | <h2>Решение задач из Савченко О.Я.</h2> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Aliaksandr Melnichenka <br/> | | Aliaksandr Melnichenka <br/> |
| October 2023 | | October 2023 |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $2.2.29^*.$ Обезьяна массы $m$ уравновешена противовесом на блоке $A$. Блок $A$ уравновешен грузом массы $2m$ на блоке $B$. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью $u$ относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь. | | $2.2.29^*.$ Обезьяна массы $m$ уравновешена противовесом на блоке $A$. Блок $A$ уравновешен грузом массы $2m$ на блоке $B$. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью $u$ относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь. |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="statement.png" | | <img src="statement.png" |
| loading="lazy" width="120" /> | | loading="lazy" width="120" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче 2.2.29 | | К задаче 2.2.29 |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| <p> | | <p> |
| Второй закон Ньютона для оси y: | | Второй закон Ньютона для оси y: |
| $$ | | $$ |
| \begin{cases} | | \begin{cases} |
| 2T - 2mg = 2ma_{1y} \\ | | 2T - 2mg = 2ma_{1y} \\ |
| T - mg = ma_{2y} \\ | | T - mg = ma_{2y} \\ |
| T - mg = ma_{3y} | | T - mg = ma_{3y} |
| \end{cases} | | \end{cases} |
| $$ | | $$ |
| Из этих трех уравнений следует, что: | | Из этих трех уравнений следует, что: |
| $$ | | $$ |
| a_1 = a_{2y} = a_{3y}$$ | | a_1 = a_{2y} = a_{3y}$$ |
| $$\quad \int_0^{v_{1y}} dv_{1y} = \int_0^{v_{2y}} dv_{2y} = \int_0^{v_{3y}} dv_{3y}$$ | | $$\quad \int_0^{v_{1y}} dv_{1y} = \int_0^{v_{2y}} dv_{2y} = \int_0^{v_{3y}} dv_{3y}$$ |
| $$v_{1y} = v_{2y} = v_{3y} | | $$v_{1y} = v_{2y} = v_{3y} |
| $$ | | $$ |
| Длины двух веревок: | | Длины двух веревок: |
| $$ | | $$ |
| \begin{cases} | | \begin{cases} |
| L_1 = 2y_b - y_1 - y_a \\ | | L_1 = 2y_b - y_1 - y_a \\ |
| L_2 = 2y_A - y_2 - y_k | | L_2 = 2y_A - y_2 - y_k |
| \end{cases} | | \end{cases} |
| $$ | | $$ |
| Взяв производную от длины каната по времени, мы получим эти зависимости: | | Взяв производную от длины каната по времени, мы получим эти зависимости: |
| $$ | | $$ |
| \begin{cases} | | \begin{cases} |
| 0 = 2v_{by} - v_{1y} - v_{Ay} \\ | | 0 = 2v_{by} - v_{1y} - v_{Ay} \\ |
| 0 = 2v_{Ay} - v_{2y} - v_{ky} | | 0 = 2v_{Ay} - v_{2y} - v_{ky} |
| \end{cases} | | \end{cases} |
| $$ | | $$ |
| Из формулы сложения скоростей: | | Из формулы сложения скоростей: |
| $$ | | $$ |
| \vec{v} = \vec{v}^\prime + \vec{u}$$ | | \vec{v} = \vec{v}^\prime + \vec{u}$$ |
| Из условия задачи | | Из условия задачи |
| $$v_{ky} = v_{3y} + u_y$$ | | $$v_{ky} = v_{3y} + u_y$$ |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| В конечном счете: | | В конечном счете: |
| $$ | | $$ |
| v_{1y} = -v_Ay \quad (v_{by} = 0)$$ | | v_{1y} = -v_Ay \quad (v_{by} = 0)$$ |
| $$ | | $$ |
| 2v_{1y} + v_{2y} + v_{ky} = 0$$ | | 2v_{1y} + v_{2y} + v_{ky} = 0$$ |
| $$ | | $$ |
| 2v_{1y} + v_{2y} + v_{3y} + u_y = 0 | | 2v_{1y} + v_{2y} + v_{3y} + u_y = 0 |
| $$ | | $$ |
| $$ | | $$ |
| 4v_{1y} = -u_y$$ | | 4v_{1y} = -u_y$$ |
| $$ | | $$ |
| v_{1y} = -\frac{u_y}{4} | | v_{1y} = -\frac{u_y}{4} |
| $$ | | $$ |
| </p> | | </p> |
| <h4> | | <h4> |
| Ответ: | | Ответ: |
| </h4> | | </h4> |
| <p>Со скоростью $u/4$ вверх</p> | | <p>Со скоростью $u/4$ вверх</p> |
| <h3> Альтернавное решение: </h3> | | <h3> Альтернавное решение: </h3> |
| <p> | | <p> |
| Решение через импульс. | | Решение через импульс. |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Сначала разбираемся со скоростью обезьяны относительно блока $ A $: т.к. массы одинаковы, то из симметрии следует, что скорости груза $ m $ и обезьяны равны, т.е. они равны $ v/2 $. На самом деле это верно только в том случае, если обезьяна начала ползти из положения равновесия, что, видимо, подразумевается в задаче. | | Сначала разбираемся со скоростью обезьяны относительно блока $ A $: т.к. массы одинаковы, то из симметрии следует, что скорости груза $ m $ и обезьяны равны, т.е. они равны $ v/2 $. На самом деле это верно только в том случае, если обезьяна начала ползти из положения равновесия, что, видимо, подразумевается в задаче. |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Пусть теперь скорость груза $ 2m $ равна $ v $ и направлена вверх. Тогда скорость точки $ A $ относительно потолка равна $ v $ и направлена вниз, и скорости обезьяны и груза $ m $ относительно потолка равны $ v/2 - v $. Т.к. силы, действующие на блок $ A $ и груз $ 2m $ одинаковы, то и изменение импульса с двух сторон блока в одно и то же, следовательно | | Пусть теперь скорость груза $ 2m $ равна $ v $ и направлена вверх. Тогда скорость точки $ A $ относительно потолка равна $ v $ и направлена вниз, и скорости обезьяны и груза $ m $ относительно потолка равны $ v/2 - v $. Т.к. силы, действующие на блок $ A $ и груз $ 2m $ одинаковы, то и изменение импульса с двух сторон блока в одно и то же, следовательно |
| $$ 2m \cdot v = 2 \left[ \frac{m(v/2 - v)}{2} \right], $$ | | $$ 2m \cdot v = 2 \left[ \frac{m(v/2 - v)}{2} \right], $$ |
| откуда получаем $ v = \frac{4}{3} g $. | | откуда получаем $ v = \frac{4}{3} g $. |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| Вторую часть задачи можно провести по-другому. Заметим, что центр масс системы "обезьяна-блок A-груз 2m" движется вверх со скоростью $ v/2 $. Фактически, заменив эту систему воображаемой обезьяной массы $ 2m $, ползущей вверх со скоростью $ v/2 $ мы сведём задачу к первой части. Из этого, повторяя рассуждения о симметрии, получим сразу ответ $ v = \frac{4}{3} g $. | | Вторую часть задачи можно провести по-другому. Заметим, что центр масс системы "обезьяна-блок A-груз 2m" движется вверх со скоростью $ v/2 $. Фактически, заменив эту систему воображаемой обезьяной массы $ 2m $, ползущей вверх со скоростью $ v/2 $ мы сведём задачу к первой части. Из этого, повторяя рассуждения о симметрии, получим сразу ответ $ v = \frac{4}{3} g $. |
| </p> | | </p> |
| <h3> Альтернавное решение: </h3> | | <h3> Альтернавное решение: </h3> |
| | | |
| <div class="video-container"> | | <div class="video-container"> |
| <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/BuEBU8T4LE8" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> | | <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/BuEBU8T4LE8" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> |
| </div> | | </div> |
| | | |
| <br> | | <br> |
| | | |
| <footer class="row container"> | | <footer class="row container"> |
| <br> | | <br> |
| <p> | | <p> |
