Правка разделов «Условие», «Решение»

astrosander правка от 5 февр. 2025 г., 15:47

правка #13091 предыдущая #13088 ← раньше позже →

ru/2.2.29.md +2 −2

		@@ -1,15 +1,15 @@
			### Условие:

			$2.2.29^*.$ Обезьяна массы $m$ уравновешена противовесом на блоке $A$. Блок $A$ уравновешен грузом массы $2m$ на блоке $B$. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью $u$ относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь.

		−	![ К задаче 2.2.29 \|301x579, 21%](../../img/2.2.29/statement.png)
		+	![ К задаче $2.2.29$ \|301x579, 21%](../../img/2.2.29/statement.png)

			### Решение:

			Второй закон Ньютона для оси y:

			$$
		−	\begin{cases} T - 2mg = 2ma_{1y} \\\ T - mg = ma_{2y} \\\ T - mg = ma_{3y} \end{cases}
		+	\begin{cases} 2T - 2mg = 2ma_{1y} \\\ T - mg = ma_{2y} \\\ T - mg = ma_{3y} \end{cases}
			$$

			Из этих трех уравнений следует, что:

			$$
			a_1 = a_{2y} = a_{3y}
			$$

			$$
			\quad \int_0^{v_{1y}} dv_{1y} = \int_0^{v_{2y}} dv_{2y} = \int_0^{v_{3y}} dv_{3y}
			$$

			$$
			v_{1y} = v_{2y} = v_{3y}
			$$

			Длины двух веревок:

			$$
			\begin{cases} L_1 = 2y_b - y_1 - y_a \\\ L_2 = 2y_A - y_2 - y_k \end{cases}
			$$

			Взяв производную от длины каната по времени, мы получим эти зависимости:

			$$
			\begin{cases} 0 = 2v_{by} - v_{1y} - v_{Ay} \\\ 0 = 2v_{Ay} - v_{2y} - v_{ky} \end{cases}
			$$

			Из формулы сложения скоростей:

			$$
			\vec{v} = \vec{v}^\prime + \vec{u}
			$$

			Из условия задачи

			$$
			v_{ky} = v_{3y} + u_y
			$$

			В конечном счете:

			$$
			v_{1y} = -v_Ay \quad (v_{by} = 0)
			$$

			$$
			2v_{1y} + v_{2y} + v_{ky} = 0
			$$

			$$
			2v_{1y} + v_{2y} + v_{3y} + u_y = 0
			$$

			$$
			4v_{1y} = -u_y
			$$

			$$
			v_{1y} = -\frac{u_y}{4}
			$$

			#### Ответ:

			Со скоростью $u/4$ вверх

			### Альтернавное решение:

			Решение через импульс.

			Сначала разбираемся со скоростью обезьяны относительно блока $ A $: т.к. массы одинаковы, то из симметрии следует, что скорости груза $ m $ и обезьяны равны, т.е. они равны $ v/2 $. На самом деле это верно только в том случае, если обезьяна начала ползти из положения равновесия, что, видимо, подразумевается в задаче.

			Пусть теперь скорость груза $ 2m $ равна $ v $ и направлена вверх. Тогда скорость точки $ A $ относительно потолка равна $ v $ и направлена вниз, и скорости обезьяны и груза $ m $ относительно потолка равны $ v/2 - v $. Т.к. силы, действующие на блок $ A $ и груз $ 2m $ одинаковы, то и изменение импульса с двух сторон блока в одно и то же, следовательно

			$$
			2m \cdot v = 2 \left[ \frac{m(v/2 - v)}{2} \right],
			$$

			откуда получаем $ v = \frac{4}{3} g $.

			Вторую часть задачи можно провести по-другому. Заметим, что центр масс системы "обезьяна-блок A-груз 2m" движется вверх со скоростью $ v/2 $. Фактически, заменив эту систему воображаемой обезьяной массы $ 2m $, ползущей вверх со скоростью $ v/2 $ мы сведём задачу к первой части. Из этого, повторяя рассуждения о симметрии, получим сразу ответ $ v = \frac{4}{3} g $.

			### Альтернавное решение:

			![](https://www.youtube.com/embed/BuEBU8T4LE8)
		ещё строк без изменений 82

	@@ -1,15 +1,15 @@
	### Условие:		### Условие:

	$2.2.29^*.$ Обезьяна массы $m$ уравновешена противовесом на блоке $A$. Блок $A$ уравновешен грузом массы $2m$ на блоке $B$. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью $u$ относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь.		$2.2.29^*.$ Обезьяна массы $m$ уравновешена противовесом на блоке $A$. Блок $A$ уравновешен грузом массы $2m$ на блоке $B$. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью $u$ относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь.

	![ К задаче 2.2.29 \|301x579, 21%](../../img/2.2.29/statement.png)		![ К задаче $2.2.29$ \|301x579, 21%](../../img/2.2.29/statement.png)

	### Решение:		### Решение:

	Второй закон Ньютона для оси y:		Второй закон Ньютона для оси y:

	$$		$$
	\begin{cases} T - 2mg = 2ma_{1y} \\\ T - mg = ma_{2y} \\\ T - mg = ma_{3y} \end{cases}		\begin{cases} 2T - 2mg = 2ma_{1y} \\\ T - mg = ma_{2y} \\\ T - mg = ma_{3y} \end{cases}
	$$		$$

	Из этих трех уравнений следует, что:		Из этих трех уравнений следует, что:

	$$		$$
	a_1 = a_{2y} = a_{3y}		a_1 = a_{2y} = a_{3y}
	$$		$$

	$$		$$
	\quad \int_0^{v_{1y}} dv_{1y} = \int_0^{v_{2y}} dv_{2y} = \int_0^{v_{3y}} dv_{3y}		\quad \int_0^{v_{1y}} dv_{1y} = \int_0^{v_{2y}} dv_{2y} = \int_0^{v_{3y}} dv_{3y}
	$$		$$

	$$		$$
	v_{1y} = v_{2y} = v_{3y}		v_{1y} = v_{2y} = v_{3y}
	$$		$$

	Длины двух веревок:		Длины двух веревок:

	$$		$$
	\begin{cases} L_1 = 2y_b - y_1 - y_a \\\ L_2 = 2y_A - y_2 - y_k \end{cases}		\begin{cases} L_1 = 2y_b - y_1 - y_a \\\ L_2 = 2y_A - y_2 - y_k \end{cases}
	$$		$$

	Взяв производную от длины каната по времени, мы получим эти зависимости:		Взяв производную от длины каната по времени, мы получим эти зависимости:

	$$		$$
	\begin{cases} 0 = 2v_{by} - v_{1y} - v_{Ay} \\\ 0 = 2v_{Ay} - v_{2y} - v_{ky} \end{cases}		\begin{cases} 0 = 2v_{by} - v_{1y} - v_{Ay} \\\ 0 = 2v_{Ay} - v_{2y} - v_{ky} \end{cases}
	$$		$$

	Из формулы сложения скоростей:		Из формулы сложения скоростей:

	$$		$$
	\vec{v} = \vec{v}^\prime + \vec{u}		\vec{v} = \vec{v}^\prime + \vec{u}
	$$		$$

	Из условия задачи		Из условия задачи

	$$		$$
	v_{ky} = v_{3y} + u_y		v_{ky} = v_{3y} + u_y
	$$		$$

	В конечном счете:		В конечном счете:

	$$		$$
	v_{1y} = -v_Ay \quad (v_{by} = 0)		v_{1y} = -v_Ay \quad (v_{by} = 0)
	$$		$$

	$$		$$
	2v_{1y} + v_{2y} + v_{ky} = 0		2v_{1y} + v_{2y} + v_{ky} = 0
	$$		$$

	$$		$$
	2v_{1y} + v_{2y} + v_{3y} + u_y = 0		2v_{1y} + v_{2y} + v_{3y} + u_y = 0
	$$		$$

	$$		$$
	4v_{1y} = -u_y		4v_{1y} = -u_y
	$$		$$

	$$		$$
	v_{1y} = -\frac{u_y}{4}		v_{1y} = -\frac{u_y}{4}
	$$		$$

	#### Ответ:		#### Ответ:

	Со скоростью $u/4$ вверх		Со скоростью $u/4$ вверх

	### Альтернавное решение:		### Альтернавное решение:

	Решение через импульс.		Решение через импульс.

	Сначала разбираемся со скоростью обезьяны относительно блока $ A $: т.к. массы одинаковы, то из симметрии следует, что скорости груза $ m $ и обезьяны равны, т.е. они равны $ v/2 $. На самом деле это верно только в том случае, если обезьяна начала ползти из положения равновесия, что, видимо, подразумевается в задаче.		Сначала разбираемся со скоростью обезьяны относительно блока $ A $: т.к. массы одинаковы, то из симметрии следует, что скорости груза $ m $ и обезьяны равны, т.е. они равны $ v/2 $. На самом деле это верно только в том случае, если обезьяна начала ползти из положения равновесия, что, видимо, подразумевается в задаче.

	Пусть теперь скорость груза $ 2m $ равна $ v $ и направлена вверх. Тогда скорость точки $ A $ относительно потолка равна $ v $ и направлена вниз, и скорости обезьяны и груза $ m $ относительно потолка равны $ v/2 - v $. Т.к. силы, действующие на блок $ A $ и груз $ 2m $ одинаковы, то и изменение импульса с двух сторон блока в одно и то же, следовательно		Пусть теперь скорость груза $ 2m $ равна $ v $ и направлена вверх. Тогда скорость точки $ A $ относительно потолка равна $ v $ и направлена вниз, и скорости обезьяны и груза $ m $ относительно потолка равны $ v/2 - v $. Т.к. силы, действующие на блок $ A $ и груз $ 2m $ одинаковы, то и изменение импульса с двух сторон блока в одно и то же, следовательно

	$$		$$
	2m \cdot v = 2 \left[ \frac{m(v/2 - v)}{2} \right],		2m \cdot v = 2 \left[ \frac{m(v/2 - v)}{2} \right],
	$$		$$

	откуда получаем $ v = \frac{4}{3} g $.		откуда получаем $ v = \frac{4}{3} g $.

	Вторую часть задачи можно провести по-другому. Заметим, что центр масс системы "обезьяна-блок A-груз 2m" движется вверх со скоростью $ v/2 $. Фактически, заменив эту систему воображаемой обезьяной массы $ 2m $, ползущей вверх со скоростью $ v/2 $ мы сведём задачу к первой части. Из этого, повторяя рассуждения о симметрии, получим сразу ответ $ v = \frac{4}{3} g $.		Вторую часть задачи можно провести по-другому. Заметим, что центр масс системы "обезьяна-блок A-груз 2m" движется вверх со скоростью $ v/2 $. Фактически, заменив эту систему воображаемой обезьяной массы $ 2m $, ползущей вверх со скоростью $ v/2 $ мы сведём задачу к первой части. Из этого, повторяя рассуждения о симметрии, получим сразу ответ $ v = \frac{4}{3} g $.

	### Альтернавное решение:		### Альтернавное решение:

	![](https://www.youtube.com/embed/BuEBU8T4LE8)		![](https://www.youtube.com/embed/BuEBU8T4LE8)
	ещё строк без изменений 82