Альтернативное решение

Альтернативное решение

Векторный метод. Прямое решение математически сложное, поэтому предполагаем сделать вычисление через инвариант, который нужно найти.

Второй закон Ньютона в плоскости движения (силы и составляющие, перепендикулярные плоскости компенсируются, так что их действие можно убрать)

$$\vec f + m\vec g_\parallel = m\vec a,$$

где $\vec f$ есть силы трения (лежит полностью в плоскости), $m\vec g_\parallel$ есть составляющая силы тяжести вдоль плоскости.

Заметим по условию

$$mg_\parallel = mg\sin\alpha,$$

где $\alpha$ есть угол наклона плоскости к горизонту, и

$$f = \mu mg\cos\alpha = mg\sin\alpha.$$

Так что второй закон становится

$$-f\vec\tau + f\gamma = m\vec a,$$

где $\vec \tau = \dfrac{\vec v}{v}$ есть единичный вектор на направление скорости, $\vec \gamma = \dfrac{\vec g_\parallel}{g_\parallel}$ есть единичный вектор на направление вектора $\vec g_\parallel$.

Симметрия двух сил, инвариант может быть связан с симметричными частями $-f\vec\tau,f\vec\gamma$.

Сдеалем преобразование, связанное с частью $-f\vec\tau$, как домножение на вектор $\vec\tau$ (проецирование на направление скорости)

$$-f + f\vec\gamma\vec\tau = ma_\tau.$$

Посмотрим на аналогичное преобразование, связанное с частью $f\vec\gamma$, как домножение на вектор $\vec\gamma$ (проецирование на направление $\vec g_\parallel$)

$$-f\vec\tau\vec\gamma + f = ma_\gamma.$$

Видно, что сложение двух предыдущих дает инвариант

$$\boxed{\frac{dv_\tau}{dt} + \frac{dv_\gamma}{dt} = 0,\quad \frac{d}{dt}\left(v_\tau + v_\gamma\right) = 0}$$

в его определении для физики как величины, производная которой по времени ноль.

Инвариант есть

$$v_\tau + v_\gamma = \text{const}.$$

В начале эти проекции скорости равны $v_\tau = v$ и $v_\gamma = 0$, то есть с одной стороны инвариант

$$v + 0 = \text{const}$$

В конце процесса $v_\tau = v_\gamma = u$ (возможное устойчивое движение), поэтому инвариант

$$2u = \text{const}.$$

Из двух предыдущих

$$u = \frac{v}{2}.$$