| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }); | | }); |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center;"> | | <header style="text-align:center;"> |
| <div id = "logo"> | | <div id = "logo"> |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $2.1.26^*.$ По деревянным сходням, образующим угол $\alpha$ с горизонтом, втаскивают за привязанную к нему веревку ящик. Коэффициент трения ящика о сходни $\mu$. Под каким углом к горизонту следует тянуть веревку, чтобы с наименьшим усилием втащить ящик? | | $2.1.26^*.$ По деревянным сходням, образующим угол $\alpha$ с горизонтом, втаскивают за привязанную к нему веревку ящик. Коэффициент трения ящика о сходни $\mu$. Под каким углом к горизонту следует тянуть веревку, чтобы с наименьшим усилием втащить ящик? |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="statement.png" | | <img src="statement.png" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче 2.1.26 | | К задаче 2.1.26 |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| | | |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="phys11917.png" | | <img src="phys11917.png" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Схема задачи | | Схема задачи |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <p>Рассмотрим силы, действующие на ящик (рис.). Это - сила тяжести $ m \vec{g} $, сила натяжения веревки $ \vec{F} $, сила реакции соударения $ \vec{N} $ и сила трения $ \vec{F}_{тр} $, величина которой $ \vec{F}_{тр} = \mu N $. Спроктируем все силы на направление вдоль схождения и перпендикулярно к ним и запишем соответственные уравнения движения.</p> | | <p>Рассмотрим силы, действующие на ящик (рис.). Это - сила тяжести $ m \vec{g} $, сила натяжения веревки $ \vec{F} $, сила реакции соударения $ \vec{N} $ и сила трения $ \vec{F}_{тр} $, величина которой $ \vec{F}_{тр} = \mu N $. Спроктируем все силы на направление вдоль схождения и перпендикулярно к ним и запишем соответственные уравнения движения.</p> |
| | | |
| <p>Так как ящик не перемещается в направлении, перпендикулярном схождению, то сумма проекций сил на это направление должна быть равна нулю, то есть</p> | | <p>Так как ящик не перемещается в направлении, перпендикулярном схождению, то сумма проекций сил на это направление должна быть равна нулю, то есть</p> |
| | | |
| \[ | | \[ |
| N + F \sin ( \beta - \alpha) - mg \cos \alpha = 0, \tag{1} | | N + F \sin ( \beta - \alpha) - mg \cos \alpha = 0, \tag{1} |
| \] | | \] |
| | | |
| <p>Вдоль схождения ящик движется с ускорением $ a $ (в частном случае при равномерном движении $ a = 0 $), поэтому сумма проекций сил должна быть равна $ ma $:</p> | | <p>Вдоль схождения ящик движется с ускорением $ a $ (в частном случае при равномерном движении $ a = 0 $), поэтому сумма проекций сил должна быть равна $ ma $:</p> |
| | | |
| \[ | | \[ |
| F \cos( \beta - \alpha) - mg \sin \alpha - \mu N = ma. \tag{2} | | F \cos( \beta - \alpha) - mg \sin \alpha - \mu N = ma. \tag{2} |
| \] | | \] |
| | | |
| <p>Из уравнений (1) и (2) получаем:</p> | | <p>Из уравнений (1) и (2) получаем:</p> |
| | | |
| \[ | | \[ |
| F = \frac{ma + mg ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{ \cos ( \beta - \alpha) + \mu \sin ( \beta - \alpha) }. \tag{3} | | F = \frac{ma + mg ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{ \cos ( \beta - \alpha) + \mu \sin ( \beta - \alpha) }. \tag{3} |
| \] | | \] |
| | | |
| <p>В полученное выражение для силы $ F $ угол $ \beta $ входит только знаменатель. Следовательно, величина силы $ F $ будет минимальной при таком значении угла $ \beta $, при котором знаменатель в формуле (3) максимален, то есть максимальна величина</p> | | <p>В полученное выражение для силы $ F $ угол $ \beta $ входит только знаменатель. Следовательно, величина силы $ F $ будет минимальной при таком значении угла $ \beta $, при котором знаменатель в формуле (3) максимален, то есть максимальна величина</p> |
| | | |
| \[ | | \[ |
| \cos ( \beta - \alpha) + \mu \sin ( \beta - \alpha). | | \cos ( \beta - \alpha) + \mu \sin ( \beta - \alpha). |
| \] | | \] |
| | | |
| <p>Сделаем некоторые преобразования. Представим коэффициент трения $ \mu $ как тангенс некоторого угла $ \gamma $:</p> | | <p>Сделаем некоторые преобразования. Представим коэффициент трения $ \mu $ как тангенс некоторого угла $ \gamma $:</p> |
| | | |
| \[ | | \[ |
| \tan \gamma = \mu; \quad \gamma = \arctan \mu; | | \tan \gamma = \mu; \quad \gamma = \arctan \mu; |
| \] | | \] |
| | | |
| \[ | | \[ |
| \sin \gamma = \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }; \quad \cos \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }. | | \sin \gamma = \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }; \quad \cos \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }. |
| \] | | \] |
| | | |
| <p>Тогда можно записать:</p> | | <p>Тогда можно записать:</p> |
| | | |
| \[ | | \[ |
| \cos ( \beta - \alpha) + \mu \sin ( \beta - \alpha) = \sqrt{1 + \mu^{2} } \cos ( \beta - \alpha - \gamma). | | \cos ( \beta - \alpha) + \mu \sin ( \beta - \alpha) = \sqrt{1 + \mu^{2} } \cos ( \beta - \alpha - \gamma). |
| \] | | \] |
| | | |
| <p>Последнее выражение максимально и равно</p> | | <p>Последнее выражение максимально и равно</p> |
| | | |
| \[ | | \[ |
| \sqrt{1 + \mu^{2}} \quad \text{при} \quad \beta - \alpha - \gamma = 0, \quad \text{то есть при} \quad \beta = \alpha + \gamma = \alpha + \arctan \mu. \tag{4} | | \sqrt{1 + \mu^{2}} \quad \text{при} \quad \beta - \alpha - \gamma = 0, \quad \text{то есть при} \quad \beta = \alpha + \gamma = \alpha + \arctan \mu. \tag{4} |
| \] | | \] |
| | | |
| <p>При таком значении угла $ \beta $ и минимальна сила $ F $. Причем, если ящик движется равномерно ($ a = 0 $), то</p> | | <p>При таком значении угла $ \beta $ и минимальна сила $ F $. Причем, если ящик движется равномерно ($ a = 0 $), то</p> |
| | | |
| \[ | | \[ |
| F_{min} = \frac{mg( \sin \alpha + \mu \cos \alpha) }{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }. | | F_{min} = \frac{mg( \sin \alpha + \mu \cos \alpha) }{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }. |
| \] | | \] |
| | | |
| <p>а при движении с ускорением $ a $</p> | | <p>а при движении с ускорением $ a $</p> |
| | | |
| \[ | | \[ |
| F_{min} = \frac{ma + mg ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }. | | F_{min} = \frac{ma + mg ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }. |
| \] | | \] |
| | | |
| <p> | | <p> |
| | | |
| Однако, это решение верно не для любого ускорения. Так как направление силы $ \vec{F} $ не зависит от $a$, а абсолютная величина силы $ \vec{F} $ увеличивается с увеличением ускорения, то при некотором значении ускорения $ a = a_0 $ сила $ \vec{F} $ станет такой, что ее составляющая $ F \sin (\beta - \alpha) $, перпендикулярная к наклонной плоскости, будет равна по абсолютной величине составляющей силы тяжести $ mg \cos \alpha $. При этом обратится в нуль как сила $ \vec{N} $, так и сила $ \vec{F}_{тр} $. В дальнейшем (при $ a > a_0 $) для того чтобы ящик не оторвался от полозьев, направление силы $ \vec{F} $ должно меняться с увеличением ускорения так, чтобы составляющая силы $ \vec{F} $, перпендикулярная к наклонной плоскости, оставалась равной составляющей силы тяжести, то есть | | Однако, это решение верно не для любого ускорения. Так как направление силы $ \vec{F} $ не зависит от $a$, а абсолютная величина силы $ \vec{F} $ увеличивается с увеличением ускорения, то при некотором значении ускорения $ a = a_0 $ сила $ \vec{F} $ станет такой, что ее составляющая $ F \sin (\beta - \alpha) $, перпендикулярная к наклонной плоскости, будет равна по абсолютной величине составляющей силы тяжести $ mg \cos \alpha $. При этом обратится в нуль как сила $ \vec{N} $, так и сила $ \vec{F}_{тр} $. В дальнейшем (при $ a > a_0 $) для того чтобы ящик не оторвался от полозьев, направление силы $ \vec{F} $ должно меняться с увеличением ускорения так, чтобы составляющая силы $ \vec{F} $, перпендикулярная к наклонной плоскости, оставалась равной составляющей силы тяжести, то есть |
| \[ F \sin (\beta - \alpha) = mg \cos \alpha \] | | \[ F \sin (\beta - \alpha) = mg \cos \alpha \] |
| | | |
| Для составляющих этих сил, параллельных наклонной плоскости, можно записать | | Для составляющих этих сил, параллельных наклонной плоскости, можно записать |
| \[ F \cos (\beta - \alpha) - mg \sin \alpha = ma \] | | \[ F \cos (\beta - \alpha) - mg \sin \alpha = ma \] |
| | | |
| Из двух последних равенств найдем | | Из двух последних равенств найдем |
| \[ \tan (\beta - \alpha) = \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \] | | \[ \tan (\beta - \alpha) = \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \] |
| | | |
| откуда | | откуда |
| \[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \] | | \[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \] |
| | | |
| Величину $ a_0 $ можно найти из тех соображений, что при $ a = a_0 $ значение угла $ \beta $ из (4) и (5) совпадают: | | Величину $ a_0 $ можно найти из тех соображений, что при $ a = a_0 $ значение угла $ \beta $ из (4) и (5) совпадают: |
| \[ \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a_0 } = \alpha + \arctan \mu \] | | \[ \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a_0 } = \alpha + \arctan \mu \] |
| | | |
| откуда | | откуда |
| \[ a_0 = g \left( \frac{\cos \alpha}{\mu} - \sin \alpha \right) \] | | \[ a_0 = g \left( \frac{\cos \alpha}{\mu} - \sin \alpha \right) \] |
| | | |
| Итак, при $ a \leq a_0 $ (следовательно, и при равномерном движении тоже) | | Итак, при $ a \leq a_0 $ (следовательно, и при равномерном движении тоже) |
| \[ \beta = \alpha + \arctan \mu \] | | \[ \beta = \alpha + \arctan \mu \] |
| | | |
| При $ a > a_0 $ | | При $ a > a_0 $ |
| \[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \] | | \[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \] |
| | | |
| Мы решили задачу. Однако, приведем еще одно решение. Это - красивое геометрическое решение. | | Мы решили задачу. Однако, приведем еще одно решение. Это - красивое геометрическое решение. |
| | | |
| При равномерном движении вдоль склонней сумма всех сил должна быть равна нулю. Заменим силы $ \vec{N} $ и $ \vec{F}_{тр} $ их равнодействующей $ \vec{Q} = \vec{N} + \vec{F}_{тр} $ (рис.) и будем складывать силы $ \vec{Q}, \vec{F} $ и $ m \vec{g} $. Они должны образовать замкнутый треугольник. | | При равномерном движении вдоль склонней сумма всех сил должна быть равна нулю. Заменим силы $ \vec{N} $ и $ \vec{F}_{тр} $ их равнодействующей $ \vec{Q} = \vec{N} + \vec{F}_{тр} $ (рис.) и будем складывать силы $ \vec{Q}, \vec{F} $ и $ m \vec{g} $. Они должны образовать замкнутый треугольник. |
| | | |
| Заменим, что направление силы $ \vec{Q} $ составляет с перпендикуляром к наклонной плоскости угол $ \delta $ такой, что | | Заменим, что направление силы $ \vec{Q} $ составляет с перпендикуляром к наклонной плоскости угол $ \delta $ такой, что |
| \[ \tan \delta = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{\mu N}{N} = \mu \] | | \[ \tan \delta = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{\mu N}{N} = \mu \] |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="phys11917-1.png" | | <img src="phys11917-1.png" |
| loading="lazy" width="250" /> | | loading="lazy" width="250" /> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| Таким образом, при изменении величины и направления силы $ \vec{F} $ направление силы $ \vec{Q} $ остается неизменным. Следовательно, абсолютная величина силы $ \vec{F} $ будет минимальна, если он перпендикулярен к вектору $ \vec{Q} $ (рис.). (так как величина и направление вектора $ m \vec{g} $ неизменны), то минимальная сила будет равна: | | Таким образом, при изменении величины и направления силы $ \vec{F} $ направление силы $ \vec{Q} $ остается неизменным. Следовательно, абсолютная величина силы $ \vec{F} $ будет минимальна, если он перпендикулярен к вектору $ \vec{Q} $ (рис.). (так как величина и направление вектора $ m \vec{g} $ неизменны), то минимальная сила будет равна: |
| | | |
| \[ F_{\min} = mg \sin \alpha + mg \mu \cos \alpha = mg (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) \] | | \[ F_{\min} = mg \sin \alpha + mg \mu \cos \alpha = mg (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) \] |
| | | |
| Таким образом, величина минимальной силы, необходимой для подъема ящика с ускорением $ a \leq a_0 $ равна | | Таким образом, величина минимальной силы, необходимой для подъема ящика с ускорением $ a \leq a_0 $ равна |
| \[ F_{\min} = mg (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) \] | | \[ F_{\min} = mg (\sin \alpha + \mu \cos \alpha) \] |
| | | |
| Если ускорение $ a > a_0 $, то для минимальной силы $ \vec{F} $, направленной под углом $ \beta $ к горизонтали, имеем: | | Если ускорение $ a > a_0 $, то для минимальной силы $ \vec{F} $, направленной под углом $ \beta $ к горизонтали, имеем: |
| \[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \]</p> | | \[ \beta = \alpha + \arctan \frac{g \cos \alpha}{g \sin \alpha + a} \]</p> |
| </div> | | </div> |
| | | |
| <h3> | | <h3> |
| Ответ: | | Ответ: |
| </h3> | | </h3> |
| <p> | | <p> |
| $$β = α + \arctan \mu$$ | | $$β = α + \arctan \mu$$ |
| </p> | | </p> |
| <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 16;"><a href="https://earthz.ru/solves/Zadacha-po-fizike-11917">earthz.ru</a></p> | | <p style="text-align: right; font-style: italic; font-size: 16;"><a href="https://earthz.ru/solves/Zadacha-po-fizike-11917">earthz.ru</a></p> |
| | | |
| <h3> | | <h3> |
| Альтернативное решение: | | Альтернативное решение: |
| </h3> | | </h3> |
| <div class="video-container"> | | <div class="video-container"> |
| <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/Tw35KFitW-k" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> | | <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/Tw35KFitW-k" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> |
| </div> | | </div> |
| | | |
| <footer class="row container"> | | <footer class="row container"> |
| <br> | | <br> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small> | | <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small> |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> | | <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small> |
| </p> | | </p> |
| </footer> | | </footer> |
| </body> | | </body> |
| | | |
| </html> | | </html> |