Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#2.2">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
    	$2.2.29^*.$ Обезьяна массы $m$ уравновешена противовесом на блоке $A$. Блок $A$ уравновешен грузом массы $2m$ на блоке $B$. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью $u$ относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь.
    </p>
    <center>
      <figure>
        <img src="statement.png"
          loading="lazy" width="120" />
        <figcaption>
            К задаче 2.2.29
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

		<h3> Решение: </h3>
    <p>
      Второй закон Ньютона для оси y:
      $$
      \begin{cases}
          2T - 2mg = 2ma_{1y} \\
          T - mg = ma_{2y} \\
          T - mg = ma_{3y}
      \end{cases}
      $$
      Из этих трех уравнений следует, что:
      $$
      a_1 = a_{2y} = a_{3y}$$
      $$\quad \int_0^{v_{1y}} dv_{1y} = \int_0^{v_{2y}} dv_{2y} = \int_0^{v_{3y}} dv_{3y}$$
      $$v_{1y} = v_{2y} = v_{3y}
      $$
      Длины двух веревок:
      $$
      \begin{cases}
          L_1 = 2y_b - y_1 - y_a \\
          L_2 = 2y_A - y_2 - y_k
      \end{cases}
      $$
      Взяв производную от длины каната по времени, мы получим эти зависимости:
      $$
      \begin{cases}
          0 = 2v_{by} - v_{1y} - v_{Ay} \\
          0 = 2v_{Ay} - v_{2y} - v_{ky}
      \end{cases}
      $$
      Из формулы сложения скоростей:
      $$
      \vec{v} = \vec{v}^\prime + \vec{u}$$
    Из условия задачи
    $$v_{ky} = v_{3y} + u_y$$
    </p>
    <p>
      В конечном счете:
      $$
      v_{1y} = -v_Ay \quad (v_{by} = 0)$$
      $$
      2v_{1y} + v_{2y} + v_{ky} = 0$$
      $$
      2v_{1y} + v_{2y} + v_{3y} + u_y = 0
      $$
      $$
      4v_{1y} = -u_y$$
      $$
      v_{1y} = -\frac{u_y}{4}
      $$
  </p>
    <h4>
        Ответ: 
    </h4>
    <p>Со скоростью $u/4$ вверх</p>
    <h3> Альтернавное решение: </h3>
  <p>

Решение через импульс.

Сначала разбираемся со скоростью обезьяны относительно блока $A$: т.к. массы одинаковы, то из симметрии следует, что скорости груза $m$ и обезьяны равны, т.е. они равны $v/2$. На самом деле это верно только в том случае, если обезьяна начала ползти из положения равновесия, что, видимо, подразумевается в задаче.

Пусть теперь скорость груза $2m$ равна $v$ и направлена вверх. Тогда скорость точки $A$ относительно потолка равна $v$ и направлена вниз, и скорости обезьяны и груза $m$ относительно потолка равны $v/2 - v$. Т.к. силы, действующие на блок $A$ и груз $2m$ одинаковы, то и изменение импульса с двух сторон блока в одно и то же, следовательно $$2m \cdot v = 2 \left[ \frac{m(v/2 - v)}{2} \right],$$ откуда получаем $v = \frac{4}{3} g$.

Вторую часть задачи можно провести по-другому. Заметим, что центр масс системы "обезьяна-блок A-груз 2m" движется вверх со скоростью $v/2$. Фактически, заменив эту систему воображаемой обезьяной массы $2m$, ползущей вверх со скоростью $v/2$ мы сведём задачу к первой части. Из этого, повторяя рассуждения о симметрии, получим сразу ответ $v = \frac{4}{3} g$.

    <div class="video-container">
        <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/BuEBU8T4LE8" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
    </div>  

    <footer class="row container">
  <br>
    <p>
        <small> © <strong>Savchenko Solutions</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>