2.2.29∗. Обезьяна массы $m$ уравновешена противовесом на блоке $A$. Блок $A$ уравновешен грузом массы $2m$ на блоке $B$. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью $u$ относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь.
Решение
Второй закон Ньютона для оси y:
\begin{cases} 2T - 2mg = 2ma_{1y} \\ T - mg = ma_{2y} \\ T - mg = ma_{3y} \end{cases}
Сначала разбираемся со скоростью обезьяны относительно блока $A$: т.к. массы одинаковы, то из симметрии следует, что скорости груза $m$ и обезьяны равны, т.е. они равны $v/2$. На самом деле это верно только в том случае, если обезьяна начала ползти из положения равновесия, что, видимо, подразумевается в задаче.
Пусть теперь скорость груза $2m$ равна $v$ и направлена вверх. Тогда скорость точки $A$ относительно потолка равна $v$ и направлена вниз, и скорости обезьяны и груза $m$ относительно потолка равны $v/2 - v$. Т.к. силы, действующие на блок $A$ и груз $2m$ одинаковы, то и изменение импульса с двух сторон блока в одно и то же, следовательно
$$2m \cdot v = 2 \left[ \frac{m(v/2 - v)}{2} \right],$$
откуда получаем $v = \frac{4}{3} g$.
Вторую часть задачи можно провести по-другому. Заметим, что центр масс системы "обезьяна-блок A-груз 2m" движется вверх со скоростью $v/2$. Фактически, заменив эту систему воображаемой обезьяной массы $2m$, ползущей вверх со скоростью $v/2$ мы сведём задачу к первой части. Из этого, повторяя рассуждения о симметрии, получим сразу ответ $v = \frac{4}{3} g$.
