Updated spacing between @ latex expressions

astrosander edited
View solution History
revision #10315 parent #9956 GitHub c702ebe ← older newer →
ru/2.1.22.md +12 −12
@@ -49,7 +49,7 @@
<h3> Условие: </h3>
<p>
− $2.1.22.$ Через какое время скорость тела, которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость $v$, снова будет равна $v$? Коэффициент трения $\mu$, угол между плоскостью и горизонтом $\alpha$, $\tan \alpha > \mu$
+ $2.1.22.$ Через какое время скорость тела, которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость $v$, снова будет равна $v$? Коэффициент трения $\mu$, угол между плоскостью и горизонтом $\alpha$, $\tan\alpha > \mu$
</p>
<h3> Решение: </h3>
@@ -71,28 +71,28 @@
Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось ОХ при движении тела вверх в векторной форме запишется следующим образом
$$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = m \vec{a}$$
Определим проекции действующих сил на ось ОХ и запишем уравнение второго закона Ньютона
− $$F_{1x} = mg \sin \alpha, F_{2x} = \mu mg \cos \alpha$$
− $$\mu mg \cos \alpha + mg \sin \alpha = ma$$
+ $$F_{1x} = mg \sin\alpha , F_{2x} = \mu mg \cos\alpha$$
+ $$\mu mg \cos\alpha + mg \sin\alpha = ma$$
Поделим обе части последнего уравнения на массу $m$ и выразим величину ускорения
− $$a = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha )$$
+ $$a = g( \sin\alpha + \mu\cos\alpha )$$
Время движения тела вверх $t_1$ определится из условия равенства нулю скорости в конце подъёма
− $$0 = v_{0} - at \Rightarrow t_{1} = \frac{v_{0} }{a} = \frac{v_{0} }{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }$$
+ $$0 = v_{0} - at \Rightarrow t_{1} = \frac{v_{0} }{a} = \frac{v_{0} }{g ( \sin\alpha + \mu\cos\alpha ) }$$
Движению тела вниз соответствует уравнение
− $$mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma$$
− $$a = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha )$$
+ $$mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = ma$$
+ $$a = g( \sin\alpha - \mu\cos\alpha )$$
Скорость станет равной $v_0$ только в конце спуска, потому как закона сохранения энергии никто не отменял, поэтому
− $$\frac{dv}{dt} = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha )$$
− $$\int_{0}^{v_{0} } dv = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) = \int_{0}^{t_{2} } dt$$
− $$t_{2} = \frac{v_{0} }{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }$$
+ $$\frac{dv}{dt} = g( \sin\alpha + \mu\cos\alpha )$$
+ $$\int_{0}^{v_{0} } dv = g( \sin\alpha + \mu\cos\alpha ) = \int_{0}^{t_{2} } dt$$
+ $$t_{2} = \frac{v_{0} }{g ( \sin\alpha + \mu\cos\alpha ) }$$
Искомое время определится в виде суммы $t = t_{1} + t_{2}$
− $$\boxed{t = \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g( \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha )}}$$
+ $$\boxed{t = \frac{2v_{0} \sin\alpha}{g( \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha )}}$$
</p>
<h3>
Ответ:
</h3>
<p>
− $$t = \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g( \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha )}$$
+ $$t = \frac{2v_{0} \sin\alpha}{g( \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha )}$$
</p>
<footer class="row container">
unchanged lines 12