| <!DOCTYPE html> | | <!DOCTYPE html> |
| <html lang="ru"> | | <html lang="ru"> |
| | | |
| <head> | | <head> |
| <meta charset="utf-8"> | | <meta charset="utf-8"> |
| <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> | | <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> |
| <meta http-equiv="content-language" content="ru"> | | <meta http-equiv="content-language" content="ru"> |
| <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> | | <meta name="keywords" content="решение, савченко, оливер, яковлевич, о.я., сборник задач по физике, решебник"> |
| <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> | | <meta name="description" content="Решение задачника Савенко О.Я."> |
| <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> | | <meta property="og:title" content="Решебник Савченко"> |
| <meta property="og:image" content="img/logo.png"> | | <meta property="og:image" content="img/logo.png"> |
| <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> | | <meta property="og:description" content="Сайт с решениями задач из сборника задач Савенко О.Я."> |
| <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> | | <meta name="yandex-verification" content="6cfda41f74038368"> |
| <title>Решебник Савченко</title> | | <title>Решебник Савченко</title> |
| <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> | | <link rel="stylesheet" href="../../css/css-latex/style.css"> |
| <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> | | <link rel="icon" href="../../img/logo.png" type="image/png"> |
| <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> | | <script src="../../js/jquery-1.10.1.min.js"></script> |
| <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> | | <script async src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.7/MathJax.js?config=TeX-MML-AM_CHTML"></script> |
| <script type="text/x-mathjax-config"> | | <script type="text/x-mathjax-config"> |
| MathJax.Hub.Config({ | | MathJax.Hub.Config({ |
| extensions: ['tex2jax.js'], | | extensions: ['tex2jax.js'], |
| jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], | | jax: ['input/TeX', 'output/HTML-CSS'], |
| tex2jax: { | | tex2jax: { |
| inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], | | inlineMath: [['$', '$'], ['$', '$']], |
| processEscapes: true, | | processEscapes: true, |
| processClass: 'tex2jax', | | processClass: 'tex2jax', |
| ignoreClass: 'html' | | ignoreClass: 'html' |
| }, | | }, |
| showProcessingMessages: false, | | showProcessingMessages: false, |
| messageStyle: 'none' | | messageStyle: 'none' |
| }) | | }) |
| </script> | | </script> |
| </head> | | </head> |
| <body style=""> | | <body style=""> |
| <header style="text-align:center"> | | <header style="text-align:center"> |
| <a href="../../" style="text-decoration: none;"> | | <a href="../../" style="text-decoration: none;"> |
| <div id="logo"> | | <div id="logo"> |
| <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> | | <span><img src="../../img/book.png"></span><span>Savchenko Solutions</span> |
| </div> | | </div> |
| </a> | | </a> |
| <p class="author"> | | <p class="author"> |
| Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> | | Solutions of Savchenko Problems in Physics <br> |
| <i><b>knowledge must be free</b></i> | | <i><b>knowledge must be free</b></i> |
| </p> | | </p> |
| </header> | | </header> |
| | | |
| <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> | | <h3 id="back-link"><a href="../../ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3> |
| | | |
| <h3> Условие: </h3> | | <h3> Условие: </h3> |
| | | |
| <p> | | <p> |
| $2.1.51.$ На два катка разного радиуса положили тяжелую плиту. Она образует угол $\alpha$ с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Массой катков пренебречь. | | $2.1.51.$ На два катка разного радиуса положили тяжелую плиту. Она образует угол $\alpha$ с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Массой катков пренебречь. |
| </p> | | </p> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="statement.png" | | <img src="statement.png" |
| loading="lazy" width="230" /> | | loading="lazy" width="230" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| К задаче 2.1.51 | | К задаче 2.1.51 |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| | | |
| <h3> Решение: </h3> | | <h3> Решение: </h3> |
| <center> | | <center> |
| <figure> | | <figure> |
| <img src="draw.png" | | <img src="draw.png" |
| loading="lazy" width="280" /> | | loading="lazy" width="280" /> |
| <figcaption> | | <figcaption> |
| Силы действующие на систему тел | | Силы действующие на систему тел |
| </figcaption> | | </figcaption> |
| </figure> | | </figure> |
| </center> | | </center> |
| <p> | | <p> |
| <p> | | <p> |
| Движение плиты сложное, состоит из горизонтального (за счет движения катков) и под углом к горизонту, и является поступательным. Расставим силы.</p> | | Движение плиты сложное, состоит из горизонтального (за счет движения катков) и под углом к горизонту, и является поступательным. Расставим силы.</p> |
| <p>Векторы синим цветом - это силы, действующие на каток ($N_1$ - сила со стороны плиты на каток она равна и противоположно направлена силе со стороны катка на плиту, $F_{тр}$ - сила трения, действующая на каток (под ее действием происходит вращение катка), и сила реакции опоры $R$ в точке $P$). </p> | | <p>Векторы синим цветом - это силы, действующие на каток ($N_1$ - сила со стороны плиты на каток она равна и противоположно направлена силе со стороны катка на плиту, $F_{тр}$ - сила трения, действующая на каток (под ее действием происходит вращение катка), и сила реакции опоры $R$ в точке $P$). </p> |
| <p>Аналогичные силы действуют на каток меньшего радиуса. Векторы красного цвета обозначают силы, действующие на плиту ($N$ - суммарная сила реакций опор, $mg$ - сила тяжести, $F_{тр}$ - сила трения со стороны катков на плиту). </p> | | <p>Аналогичные силы действуют на каток меньшего радиуса. Векторы красного цвета обозначают силы, действующие на плиту ($N$ - суммарная сила реакций опор, $mg$ - сила тяжести, $F_{тр}$ - сила трения со стороны катков на плиту). </p> |
| <p>Выберем ось $Ox$ по направлению скорости движения плиты. Сама же скорость это мгновенная скорость точки касания плиты и катка, а точка $P$ - мгновенный центр скоростей, причем $v$ перпендикулярна $PC$ (мгновенный радиус вращения). Запишем в проекциях на ось $Ox$ уравнение движения плиты | | <p>Выберем ось $Ox$ по направлению скорости движения плиты. Сама же скорость это мгновенная скорость точки касания плиты и катка, а точка $P$ - мгновенный центр скоростей, причем $v$ перпендикулярна $PC$ (мгновенный радиус вращения). Запишем в проекциях на ось $Ox$ уравнение движения плиты |
| </p> | | </p> |
| $$ma = mg \sin a/2 + N \sin\alpha /2 - F_{тр} \cos\alpha /2\; (1)$$ | | $$ma = mg \sin a/2 + N \sin\alpha /2 - F_{тр} \cos\alpha /2\; (1)$$ |
| | | |
| В этом уравнении три неизвестных. Необходимо составить еще уравнения. | | В этом уравнении три неизвестных. Необходимо составить еще уравнения. |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Запишем уравнение вращательного движения для катка. Это уравнение имеет вид | | Запишем уравнение вращательного движения для катка. Это уравнение имеет вид |
| $$I \varepsilon = \Sigma M$$ | | $$I \varepsilon = \Sigma M$$ |
| произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело. | | произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело. |
| Найдем плечи сил, действующих на каток $PC$ | | Найдем плечи сил, действующих на каток $PC$ |
| $$2r \cos\frac{\alpha}{2}$$ | | $$2r \cos\frac{\alpha}{2}$$ |
| Плечо силы трения равно | | Плечо силы трения равно |
| $$2r \cos^2 \frac{\alpha}{2}$$ | | $$2r \cos^2 \frac{\alpha}{2}$$ |
| а плечо силы $N$ равно | | а плечо силы $N$ равно |
| $$2r\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \sin\alpha /2$$ | | $$2r\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \sin\alpha /2$$ |
| Плечо силы $R$ равно нулю. | | Плечо силы $R$ равно нулю. |
| </p> | | </p> |
| <p> | | <p> |
| Запишем уравнение вращательного движения для катка (т.к. масса катка по условию задачи равна нулю, то и $I = 0$): | | Запишем уравнение вращательного движения для катка (т.к. масса катка по условию задачи равна нулю, то и $I = 0$): |
| $$0 = - F_{тр} 2r \cos^2 \frac{\alpha}{2} + N r \sin\alpha\; (2)$$ | | $$0 = - F_{тр} 2r \cos^2 \frac{\alpha}{2} + N r \sin\alpha\; (2)$$ |
| Откуда | | Откуда |
| $$F_{тр}= N \tan\frac{\alpha}{2}$$ | | $$F_{тр}= N \tan\frac{\alpha}{2}$$ |
| подставляя это значение в уравнение движения $(1)$, получим | | подставляя это значение в уравнение движения $(1)$, получим |
| $$ma = mg \sin\frac{\alpha}{2}$$ | | $$ma = mg \sin\frac{\alpha}{2}$$ |
| т.е. искомое ускорение равно | | т.е. искомое ускорение равно |
| $$\boxed{a = g \sin\alpha /2}$$ | | $$\boxed{a = g \sin\alpha /2}$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| <h3> Ответ: </h3> | | <h3> Ответ: </h3> |
| <p> | | <p> |
| $$a = g \sin(\alpha /2)$$ | | $$a = g \sin(\alpha /2)$$ |
| </p> | | </p> |
| | | |
| | | |
| <h3> Альтернативное решение: </h3> | | <h3> Альтернативное решение: </h3> |
| | | |
| <div class="video-container"> | | <div class="video-container"> |
| <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/7qv1yfpcA1k" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> | | <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/7qv1yfpcA1k" frameborder="0" allowfullscreen></iframe> |
| </div> | | </div> |
