| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $2.1.51.$ На два катка разного радиуса положили тяжелую плиту. Она образует угол $\alpha$ с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Массой катков пренебречь. | | $2.1.51.$ На два катка разного радиуса положили тяжелую плиту. Она образует угол $\alpha$ с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Массой катков пренебречь. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Движение плиты сложное, состоит из горизонтального (за счет движения катков) и под углом к горизонту, и является поступательным. Расставим силы. | | Движение плиты сложное, состоит из горизонтального (за счет движения катков) и под углом к горизонту, и является поступательным. Расставим силы. |
| | | |
| Векторы синим цветом - это силы, действующие на каток ($N_1$ - сила со стороны плиты на каток она равна и противоположно направлена силе со стороны катка на плиту, $F_{тр}$ - сила трения, действующая на каток (под ее действием происходит вращение катка), и сила реакции опоры $R$ в точке $P$). | | Векторы синим цветом - это силы, действующие на каток ($N_1$ - сила со стороны плиты на каток она равна и противоположно направлена силе со стороны катка на плиту, $F_{тр}$ - сила трения, действующая на каток (под ее действием происходит вращение катка), и сила реакции опоры $R$ в точке $P$). |
| | | |
| Аналогичные силы действуют на каток меньшего радиуса. Векторы красного цвета обозначают силы, действующие на плиту ($N$ - суммарная сила реакций опор, $mg$ - сила тяжести, $F_{тр}$ - сила трения со стороны катков на плиту). | | Аналогичные силы действуют на каток меньшего радиуса. Векторы красного цвета обозначают силы, действующие на плиту ($N$ - суммарная сила реакций опор, $mg$ - сила тяжести, $F_{тр}$ - сила трения со стороны катков на плиту). |
| | | |
| Выберем ось $Ox$ по направлению скорости движения плиты. Сама же скорость это мгновенная скорость точки касания плиты и катка, а точка $P$ - мгновенный центр скоростей, причем $v$ перпендикулярна $PC$ (мгновенный радиус вращения). Запишем в проекциях на ось $Ox$ уравнение движения плиты | | Выберем ось $Ox$ по направлению скорости движения плиты. Сама же скорость это мгновенная скорость точки касания плиты и катка, а точка $P$ - мгновенный центр скоростей, причем $v$ перпендикулярна $PC$ (мгновенный радиус вращения). Запишем в проекциях на ось $Ox$ уравнение движения плиты |
| | | |
| $$ | | $$ |
| ma = mg \sin a/2 + N \sin\alpha /2 - F_{тр} \cos\alpha /2\tag{1} | | ma = mg \sin a/2 + N \sin\alpha /2 - F_{тр} \cos\alpha /2\tag{1} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| В этом уравнении три неизвестных. Необходимо составить еще уравнения. | | В этом уравнении три неизвестных. Необходимо составить еще уравнения. |
| | | |
| Запишем уравнение вращательного движения для катка. Это уравнение имеет вид | | Запишем уравнение вращательного движения для катка. Это уравнение имеет вид |
| | | |
| $$ | | $$ |
| I \varepsilon = \Sigma M | | I \varepsilon = \Sigma M |
| $$ | | $$ |
| | | |
| произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело. Найдем плечи сил, действующих на каток $PC$ | | произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело. Найдем плечи сил, действующих на каток $PC$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| 2r \cos\frac{\alpha}{2} | | 2r \cos\frac{\alpha}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Плечо силы трения равно | | Плечо силы трения равно |
| | | |
| $$ | | $$ |
| 2r \cos^2 \frac{\alpha}{2} | | 2r \cos^2 \frac{\alpha}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| а плечо силы $N$ равно | | а плечо силы $N$ равно |
| | | |
| $$ | | $$ |
| 2r\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \sin\alpha /2 | | 2r\cos\frac{\alpha}{2} \cdot \sin\alpha /2 |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Плечо силы $R$ равно нулю. | | Плечо силы $R$ равно нулю. |
| | | |
| Запишем уравнение вращательного движения для катка (т.к. масса катка по условию задачи равна нулю, то и $I = 0$): | | Запишем уравнение вращательного движения для катка (т.к. масса катка по условию задачи равна нулю, то и $I = 0$): |
| | | |
| $$ | | $$ |
| 0 = - F_{тр} 2r \cos^2 \frac{\alpha}{2} + N r \sin\alpha\tag{2} | | 0 = - F_{тр} 2r \cos^2 \frac{\alpha}{2} + N r \sin\alpha\tag{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Откуда | | Откуда |
| | | |
| $$ | | $$ |
| F_{тр}= N \tan\frac{\alpha}{2} | | F_{тр}= N \tan\frac{\alpha}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| подставляя это значение в уравнение движения $(1)$, получим | | подставляя это значение в уравнение движения $(1)$, получим |
| | | |
| $$ | | $$ |
| ma = mg \sin\frac{\alpha}{2} | | ma = mg \sin\frac{\alpha}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| т.е. искомое ускорение равно | | т.е. искомое ускорение равно |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{a = g \sin\alpha /2} | | \boxed{a = g \sin\alpha /2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| #### Ответ: | | #### Ответ: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| a = g \sin(\alpha /2) | | a = g \sin(\alpha /2) |
| $$ | | $$ |
| | | |