Edit to “Решение”

astrosander edited Dec 1, 2024, 8:12 PM

View solution History

revision #11714 parent #11713 ← older newer →

ru/1.3.13.md +1 −1

			### Условие:

			$1.3.13^{*}.$ Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами $x$ по горизонтали и $y$ по вертикали. Начальная скорость снаряда $v$. Найдите:
			а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом;
			б) границу области возможного попадания снаряда;
			в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он может попасть в точку с координатами $x, \,y$.

			Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством $1/ \cos^2 \varphi = \tan^2 \varphi + 1$

			### Решение:

			а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в [1.3.6](../1.3.6):

			$$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2 \varphi}$$

			Воспользуемся подсказкой,

			$$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(1+\tan^2 \varphi)\quad(1)$$

			Откуда выражаем угол $ \varphi$:

			$$\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}$$

			б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\varphi$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:

			![ Траектории движения при разных углах, ложатся на одну кривую \|788x517, 76%](../../img/1.3.13/graph.png)
		@@ -27,7 +27,7 @@Решение:

			Проанализировав область определения функции $(1)$, подчеркнем, что подкоренное выражение не отрицательное

		−	$v^4-2gv^2y-g^2x^2 \geq 0$
		+	$$v^4-2gv^2y-g^2x^2 \geq 0$$

			$$y \leq \frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$$

			в) Из $(1)$, получаем:

			$$v_{x}v_{y}x-\frac{1}{2}gx^{2}=v_{x}^{2}y$$

			Воспользуемся формулой для горизонтальной и вертикальной координат, полученной в [1.3.6](../1.3.6):

			$$y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}$$

			$$x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}$$

			Пусть $\xi =\cos{\varphi}$,

			$$v_y = v \xi$$

			$$v_x = v \sqrt{1-\xi^2}$$

			Получаем функцию

			$$v(\xi )=\frac{\sqrt{g}x}{\sqrt{2 \xi\sqrt{1-\xi^{2}}x-\xi^{2}y}} \quad(2)$$

			Максимум подкоренного значения соответсвует минимуму функции (2)

			$$(\sqrt{x^{2}+y^{2}-y})/2 \rightarrow \max$$

			Минимум функции $(2)$

			$$\fbox{$v^{2}=\frac{gx}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}-\frac{y}{x}}$}$$

			#### Ответ:

			a) $\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}.$
			б) $y=\frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$
			в) $v_{\text{мин}}=\sqrt{g(y+\sqrt{x^2+y^2})}$
		unchanged lines 33

	### Условие:		### Условие:

	$1.3.13^{*}.$ Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами $x$ по горизонтали и $y$ по вертикали. Начальная скорость снаряда $v$. Найдите:		$1.3.13^{*}.$ Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами $x$ по горизонтали и $y$ по вертикали. Начальная скорость снаряда $v$. Найдите:
	а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом;		а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом;
	б) границу области возможного попадания снаряда;		б) границу области возможного попадания снаряда;
	в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он может попасть в точку с координатами $x, \,y$.		в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он может попасть в точку с координатами $x, \,y$.

	Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством $1/ \cos^2 \varphi = \tan^2 \varphi + 1$		Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством $1/ \cos^2 \varphi = \tan^2 \varphi + 1$

	### Решение:		### Решение:

	а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в [1.3.6](../1.3.6):		а) Воспользуемся формулой для траектории полета, полученной в [1.3.6](../1.3.6):

	$$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2 \varphi}$$		$$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2\cos^2 \varphi}$$

	Воспользуемся подсказкой,		Воспользуемся подсказкой,

	$$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(1+\tan^2 \varphi)\quad(1)$$		$$y(x) = x \tan\varphi-\frac{gx^2}{2v^2}(1+\tan^2 \varphi)\quad(1)$$

	Откуда выражаем угол $ \varphi$:		Откуда выражаем угол $ \varphi$:

	$$\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}$$		$$\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}$$

	б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\varphi$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:		б) Изобразим множество траекторий, меняя угол $\varphi$ от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:

	![ Траектории движения при разных углах, ложатся на одну кривую \|788x517, 76%](../../img/1.3.13/graph.png)		![ Траектории движения при разных углах, ложатся на одну кривую \|788x517, 76%](../../img/1.3.13/graph.png)
	@@ -27,7 +27,7 @@Решение:

	Проанализировав область определения функции $(1)$, подчеркнем, что подкоренное выражение не отрицательное		Проанализировав область определения функции $(1)$, подчеркнем, что подкоренное выражение не отрицательное

	$v^4-2gv^2y-g^2x^2 \geq 0$		$$v^4-2gv^2y-g^2x^2 \geq 0$$

	$$y \leq \frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$$		$$y \leq \frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$$

	в) Из $(1)$, получаем:		в) Из $(1)$, получаем:

	$$v_{x}v_{y}x-\frac{1}{2}gx^{2}=v_{x}^{2}y$$		$$v_{x}v_{y}x-\frac{1}{2}gx^{2}=v_{x}^{2}y$$

	Воспользуемся формулой для горизонтальной и вертикальной координат, полученной в [1.3.6](../1.3.6):		Воспользуемся формулой для горизонтальной и вертикальной координат, полученной в [1.3.6](../1.3.6):

	$$y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}$$		$$y(t) = vt \cdot \sin{\varphi} - \frac{gt^2}{2}$$

	$$x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}$$		$$x(t) = vt \cdot \cos{\varphi}$$

	Пусть $\xi =\cos{\varphi}$,		Пусть $\xi =\cos{\varphi}$,

	$$v_y = v \xi$$		$$v_y = v \xi$$

	$$v_x = v \sqrt{1-\xi^2}$$		$$v_x = v \sqrt{1-\xi^2}$$

	Получаем функцию		Получаем функцию

	$$v(\xi )=\frac{\sqrt{g}x}{\sqrt{2 \xi\sqrt{1-\xi^{2}}x-\xi^{2}y}} \quad(2)$$		$$v(\xi )=\frac{\sqrt{g}x}{\sqrt{2 \xi\sqrt{1-\xi^{2}}x-\xi^{2}y}} \quad(2)$$

	Максимум подкоренного значения соответсвует минимуму функции (2)		Максимум подкоренного значения соответсвует минимуму функции (2)

	$$(\sqrt{x^{2}+y^{2}-y})/2 \rightarrow \max$$		$$(\sqrt{x^{2}+y^{2}-y})/2 \rightarrow \max$$

	Минимум функции $(2)$		Минимум функции $(2)$

	$$\fbox{$v^{2}=\frac{gx}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}-\frac{y}{x}}$}$$		$$\fbox{$v^{2}=\frac{gx}{\sqrt{1+(\frac{y}{x})^{2}}-\frac{y}{x}}$}$$

	#### Ответ:		#### Ответ:

	a) $\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}.$		a) $\tan\varphi=\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-2gv^2y-g^2x^2}}{gx}.$
	б) $y=\frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$		б) $y=\frac{v^2}{2g}-\frac{gx^2}{2v^2}$
	в) $v_{\text{мин}}=\sqrt{g(y+\sqrt{x^2+y^2})}$		в) $v_{\text{мин}}=\sqrt{g(y+\sqrt{x^2+y^2})}$
	unchanged lines 33