Edits to “Условие”, “Решение”
ru/1.5.15.md
+4 −4
| @@ -1,14 +1,14 @@ | |||
| ### Условие: | |||
| $ 1.5.15.$ Постройте примерный график зависимости скорости точки $B$ от времени, если скорость $v_{a}$ точки $A$ постоянна. Найдите формулу этой зависимости, если $x(0) = 0$. | |||
| − |  | ||
| + |  | ||
| ### Решение: | |||
|  Распределение скоростей на нитях | |||
| − | |||
| + | __NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.14](../1.5.14) | ||
| В момент времени $t$ высота, на которую опустилась точка | |||
| $$x = v_A t\quad(1)$$ | |||
| Рассмотрим изменение длины нити за маленький промежуток времени $dt$ | |||
| @@ -18,7 +18,7 @@Решение: | |||
| $$dl = \sqrt{L^2 + (x+dx)^2}-\sqrt{L^2 + x^2}$$ | |||
| − | $$dl = \sqrt{L^2 + x^2}(\sqrt{1 + \frac{2xdx}{L^2 + x^2}}-1)$$ | ||
| + | $$dl = \sqrt{L^2 + x^2}\cdot\left(\sqrt{1 + \frac{2xdx}{L^2 + x^2}}-1\right)$$ | ||
| Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x$, где $x\rightarrow 0$: | |||
| $$dl = \frac{xdx}{\sqrt{L^2 + x^2}}$$ | |||
| Учитывая, что $v_B = \frac{dl}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$ | |||
| $$v_B = \frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}} \frac{dx}{dt}$$ | |||
| $$v_B = v_A\frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}}$$ | |||
| Подставляем $(1):$ | |||
| @@ -34,9 +34,9 @@Решение: | |||
| $$\fbox{$v_B = \frac{v_A^2t}{\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$}$$ | |||
| − | |||
| + | __NO__: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 2) | ||
| ### Ответ: $v_B = \frac{v_A^2t}{\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$ | |||
| @@ -1,14 +1,14 @@ | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $ 1.5.15.$ Постройте примерный график зависимости скорости точки $B$ от времени, если скорость $v_{a}$ точки $A$ постоянна. Найдите формулу этой зависимости, если $x(0) = 0$. | $ 1.5.15.$ Постройте примерный график зависимости скорости точки $B$ от времени, если скорость $v_{a}$ точки $A$ постоянна. Найдите формулу этой зависимости, если $x(0) = 0$. | ||
|  |  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  Распределение скоростей на нитях |  Распределение скоростей на нитях | ||
| __NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.14](../1.5.14) | |||
| В момент времени $t$ высота, на которую опустилась точка | В момент времени $t$ высота, на которую опустилась точка | ||
| $$x = v_A t\quad(1)$$ | $$x = v_A t\quad(1)$$ | ||
| Рассмотрим изменение длины нити за маленький промежуток времени $dt$ | Рассмотрим изменение длины нити за маленький промежуток времени $dt$ | ||
| @@ -18,7 +18,7 @@Решение: | |||
| $$dl = \sqrt{L^2 + (x+dx)^2}-\sqrt{L^2 + x^2}$$ | $$dl = \sqrt{L^2 + (x+dx)^2}-\sqrt{L^2 + x^2}$$ | ||
| $$dl = \sqrt{L^2 + x^2}(\sqrt{1 + \frac{2xdx}{L^2 + x^2}}-1)$$ | $$dl = \sqrt{L^2 + x^2}\cdot\left(\sqrt{1 + \frac{2xdx}{L^2 + x^2}}-1\right)$$ | ||
| Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x$, где $x\rightarrow 0$: | Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\alpha\approx 1+\alpha x$, где $x\rightarrow 0$: | ||
| $$dl = \frac{xdx}{\sqrt{L^2 + x^2}}$$ | $$dl = \frac{xdx}{\sqrt{L^2 + x^2}}$$ | ||
| Учитывая, что $v_B = \frac{dl}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$ | Учитывая, что $v_B = \frac{dl}{dt}$ и $v_A = \frac{dx}{dt}$ | ||
| $$v_B = \frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}} \frac{dx}{dt}$$ | $$v_B = \frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}} \frac{dx}{dt}$$ | ||
| $$v_B = v_A\frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}}$$ | $$v_B = v_A\frac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}}$$ | ||
| Подставляем $(1):$ | Подставляем $(1):$ | ||
| @@ -34,9 +34,9 @@Решение: | |||
| $$\fbox{$v_B = \frac{v_A^2t}{\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$}$$ | $$\fbox{$v_B = \frac{v_A^2t}{\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$}$$ | ||
| __NO__: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 2) | |||
| ### Ответ: $v_B = \frac{v_A^2t}{\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$ | ### Ответ: $v_B = \frac{v_A^2t}{\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$ | ||