Edit to “Решение”
ru/1.5.15.md
+5 −5
| ### Условие: | |||
| $ 1.5.15.$ Постройте примерный график зависимости скорости точки $B$ от времени, если скорость $v_{a}$ точки $A$ постоянна. Найдите формулу этой зависимости, если $x(0) = 0$. | |||
|  | |||
| ### Решение: | |||
|  | |||
| __NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.14](../1.5.14) | |||
| В момент времени $t$ высота, на которую опустилась точка | |||
| $$ | |||
| x = v_A t\\tag{1} | |||
| $$ | |||
| @@ -19,27 +19,27 @@Решение: | |||
| Рассмотрим изменение длины нити за маленький промежуток времени $dt$ | |||
| $$ | |||
| − | dl = \\sqrt{L^2 + (x+dx)^2}-\\sqrt{L^2 + x^2} | ||
| + | dl = 2 \\sqrt{L^2 + (x+dx)^2}-\\sqrt{L^2 + x^2} | ||
| $$ | |||
| $$ | |||
| − | dl = \\sqrt{L^2 + x^2}\\cdot\\left(\\sqrt{1 + \\frac{2xdx}{L^2 + x^2}}-1\\right) | ||
| + | dl = 2 \\sqrt{L^2 + x^2}\\cdot\\left(\\sqrt{1 + \\frac{2xdx}{L^2 + x^2}}-1\\right) | ||
| $$ | |||
| Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\\alpha\\approx 1+\\alpha x$, где $x\\rightarrow 0$: | |||
| $$ | |||
| − | dl = \\frac{xdx}{\\sqrt{L^2 + x^2}} | ||
| + | dl =2 \\frac{xdx}{\\sqrt{L^2 + x^2}} | ||
| $$ | |||
| Учитывая, что $v_B = \\frac{dl}{dt}$ и $v_A = \\frac{dx}{dt}$ | |||
| $$ | |||
| − | v_B = \\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}} \\frac{dx}{dt} | ||
| + | v_B = 2 \\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}} \\frac{dx}{dt} | ||
| $$ | |||
| $$ | |||
| − | v_B = v_A\\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}} | ||
| + | v_B = 2 v_A\\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}} | ||
| $$ | |||
| Подставляем $(1):$ | |||
| $$ | |||
| \\fbox{$v_B = \\frac{v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$} | |||
| $$ | |||
| __NO__: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 2) | |||
| #### Ответ: $v_B = \\frac{v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$ | |||
| unchanged lines 10 | |||
| ### Условие: | ### Условие: | ||
| $ 1.5.15.$ Постройте примерный график зависимости скорости точки $B$ от времени, если скорость $v_{a}$ точки $A$ постоянна. Найдите формулу этой зависимости, если $x(0) = 0$. | $ 1.5.15.$ Постройте примерный график зависимости скорости точки $B$ от времени, если скорость $v_{a}$ точки $A$ постоянна. Найдите формулу этой зависимости, если $x(0) = 0$. | ||
|  |  | ||
| ### Решение: | ### Решение: | ||
|  |  | ||
| __NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.14](../1.5.14) | __NO__: Перед просмотром решения данной задачи, советую ознакомиться с решением [1.5.14](../1.5.14) | ||
| В момент времени $t$ высота, на которую опустилась точка | В момент времени $t$ высота, на которую опустилась точка | ||
| $$ | $$ | ||
| x = v_A t\\tag{1} | x = v_A t\\tag{1} | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -19,27 +19,27 @@Решение: | |||
| Рассмотрим изменение длины нити за маленький промежуток времени $dt$ | Рассмотрим изменение длины нити за маленький промежуток времени $dt$ | ||
| $$ | $$ | ||
| dl = \\sqrt{L^2 + (x+dx)^2}-\\sqrt{L^2 + x^2} | dl = 2 \\sqrt{L^2 + (x+dx)^2}-\\sqrt{L^2 + x^2} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| dl = \\sqrt{L^2 + x^2}\\cdot\\left(\\sqrt{1 + \\frac{2xdx}{L^2 + x^2}}-1\\right) | dl = 2 \\sqrt{L^2 + x^2}\\cdot\\left(\\sqrt{1 + \\frac{2xdx}{L^2 + x^2}}-1\\right) | ||
| $$ | $$ | ||
| Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\\alpha\\approx 1+\\alpha x$, где $x\\rightarrow 0$: | Воспользуемся формулой для малых величин $(1+x)^\\alpha\\approx 1+\\alpha x$, где $x\\rightarrow 0$: | ||
| $$ | $$ | ||
| dl = \\frac{xdx}{\\sqrt{L^2 + x^2}} | dl =2 \\frac{xdx}{\\sqrt{L^2 + x^2}} | ||
| $$ | $$ | ||
| Учитывая, что $v_B = \\frac{dl}{dt}$ и $v_A = \\frac{dx}{dt}$ | Учитывая, что $v_B = \\frac{dl}{dt}$ и $v_A = \\frac{dx}{dt}$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_B = \\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}} \\frac{dx}{dt} | v_B = 2 \\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}} \\frac{dx}{dt} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| v_B = v_A\\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}} | v_B = 2 v_A\\frac{x}{\\sqrt{L^2 + x^2}} | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставляем $(1):$ | Подставляем $(1):$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \\fbox{$v_B = \\frac{v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$} | \\fbox{$v_B = \\frac{v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$} | ||
| $$ | $$ | ||
| __NO__: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 2) | __NO__: Более развернутую и красивую задачу с похожей идеей можно найти в ["Очень длинных физических задачах"](https://belphol.github.io/books/LongProblemsPart1.pdf) А.И.Слободянюка(Задача 2) | ||
| #### Ответ: $v_B = \\frac{v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$ | #### Ответ: $v_B = \\frac{v_A^2t}{\\sqrt{L^2 + v_A^2t^2}}$ | ||
| unchanged lines 10 | |||