| @@ -1,21 +1,57 @@ |
| ### Условие: |
| ### Условие: |
| |
| |
| $5.2.3.$ Число молекул однородного идеального газа $dN$, скорость которых вдоль произвольной оси $x$ лежит в интервале ($v_x$, $v_x + dv_x$), из общего числа $N$ его молекул при данной температуре $T$ определяется распределением Максвелла: |
| $5.2.3.$ Число молекул однородного идеального газа $dN$, скорость которых вдоль произвольной оси $x$ лежит в интервале ($v_x$, $v_x + dv_x$), из общего числа $N$ его молекул при данной температуре $T$ определяется распределением Максвелла: |
| |
| |
|  |
| $$ |
| |
| \begin{aligned} |
| |
| dN=N\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)dv_x=Nf(v_x)dv_x, |
| |
| \end{aligned} |
| |
| $$ |
| |
| |
| где $m$ — масса молекулы, $k$ — постоянная Больцмана. Функция |
| где $m$ — масса молекулы, $k$ — постоянная Больцмана. Функция |
| |
| |
|  |
| $$ |
| |
| f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right) |
| |
| $$ |
| |
| |
| называется функцией распределения. На рисунке приведена функция распределения молекул азота при комнатной температуре ($T = 293 \,K$). Используя график, найдите: а) сколько в $1 \,см^3$ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от 499 до 501 м/с, б) сколько в $1 \,м^3$ содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $498$ до $502 \,м/с$, если число молекул азота в $1 см^3$ равно $2 \cdot 10^{19}$. |
| называется функцией распределения. На рисунке приведена функция распределения молекул азота при комнатной температуре ($T = 293 \,K$). Используя график, найдите: |
| |
| а) сколько в $1 \,см^3$ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $499$ до $501 \mathrm{~м/с}$ |
| |
| б) сколько в $1 \,м^3$ содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $498$ до $502 \,м/с$, если число молекул азота в $1 см^3$ равно $2 \cdot 10^{19}$. |
| |
| |
|  |
|  |
| |
| |
| ### Решение: |
| ### Решение: |
| |
| |
|  |
| Для случая а: |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| N_1 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x |
| |
| $$ |
| |
| $$ |
| |
| N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x = 2 \, \frac{\text{м}}{\text{с}} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| N_1 \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| Для случая б: |
| |
| |
| |
| $$ |
| |
| N_2 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x' |
| |
| $$ |
| |
| $$ |
| |
| N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x' = 4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}} |
| |
| $$ |
| |
| $$ |
| |
| N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3} |
| |
| $$ |
| |
| |
| |
| |
| ### Ответ: |
| ### Ответ: |
| |
| |
|  |
| $$ |
| |
| \begin{aligned} |
| |
| \mathrm{a)} N_1 & \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3},\quad\mathrm{б)~}N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}. |
| |
| \end{aligned} |
| |
| $$ |
