Edit to “Решение”

astrosander edited Dec 10, 2024, 3:40 AM

View solution History

revision #11847 parent #11846 ← older newer →

ru/5.2.3.md +3 −1

			### Условие:

			$5.2.3.$ Число молекул однородного идеального газа $dN$, скорость которых вдоль произвольной оси $x$ лежит в интервале ($v_x$, $v_x + dv_x$), из общего числа $N$ его молекул при данной температуре $T$ определяется распределением Максвелла:

			$$
			\begin{aligned}
			dN=N\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)dv_x=Nf(v_x)dv_x,
			\end{aligned}
			$$

			где $m$ — масса молекулы, $k$ — постоянная Больцмана. Функция

			$$
			f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)
			$$

			называется функцией распределения. На рисунке приведена функция распределения молекул азота при комнатной температуре ($T = 293 \,K$). Используя график, найдите:
			а) сколько в $1 \,см^3$ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $499$ до $501 \mathrm{~м/с}$
			б) сколько в $1 \,м^3$ содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $498$ до $502 \,м/с$, если число молекул азота в $1 см^3$ равно $2 \cdot 10^{19}$.

			![К задаче $5.2.3$\|808x422, 80%](../../img/5.2.3/5.2.3.png)

			### Решение:

			Для случая а:

		@@ -27,6 +27,7 @@Решение:
			$$
			N_1 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x
			$$
		+
			$$
			N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x = 2 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}
			$$

			$$
			N_1 \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3}
			$$

			Для случая б:

		@@ -40,13 +41,14 @@Решение:
			$$
			N_2 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x'
			$$
		+
			$$
			N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x' = 4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}
			$$
		+
			$$
			N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}
			$$
		−

			### Ответ:

			$$
			\begin{aligned}
			\mathrm{a)} N_1 & \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3},\quad\mathrm{б)~}N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}.
			\end{aligned}
			$$
		unchanged lines 5

	### Условие:		### Условие:

	$5.2.3.$ Число молекул однородного идеального газа $dN$, скорость которых вдоль произвольной оси $x$ лежит в интервале ($v_x$, $v_x + dv_x$), из общего числа $N$ его молекул при данной температуре $T$ определяется распределением Максвелла:		$5.2.3.$ Число молекул однородного идеального газа $dN$, скорость которых вдоль произвольной оси $x$ лежит в интервале ($v_x$, $v_x + dv_x$), из общего числа $N$ его молекул при данной температуре $T$ определяется распределением Максвелла:

	$$		$$
	\begin{aligned}		\begin{aligned}
	dN=N\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)dv_x=Nf(v_x)dv_x,		dN=N\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)dv_x=Nf(v_x)dv_x,
	\end{aligned}		\end{aligned}
	$$		$$

	где $m$ — масса молекулы, $k$ — постоянная Больцмана. Функция		где $m$ — масса молекулы, $k$ — постоянная Больцмана. Функция

	$$		$$
	f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)		f(v_x)=\sqrt{\frac{m}{2\pi kT}}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2kT}\right)
	$$		$$

	называется функцией распределения. На рисунке приведена функция распределения молекул азота при комнатной температуре ($T = 293 \,K$). Используя график, найдите:		называется функцией распределения. На рисунке приведена функция распределения молекул азота при комнатной температуре ($T = 293 \,K$). Используя график, найдите:
	а) сколько в $1 \,см^3$ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $499$ до $501 \mathrm{~м/с}$		а) сколько в $1 \,см^3$ воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $499$ до $501 \mathrm{~м/с}$
	б) сколько в $1 \,м^3$ содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $498$ до $502 \,м/с$, если число молекул азота в $1 см^3$ равно $2 \cdot 10^{19}$.		б) сколько в $1 \,м^3$ содержится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от $498$ до $502 \,м/с$, если число молекул азота в $1 см^3$ равно $2 \cdot 10^{19}$.

	![К задаче $5.2.3$\|808x422, 80%](../../img/5.2.3/5.2.3.png)		![К задаче $5.2.3$\|808x422, 80%](../../img/5.2.3/5.2.3.png)

	### Решение:		### Решение:

	Для случая а:		Для случая а:

	@@ -27,6 +27,7 @@Решение:
	$$		$$
	N_1 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x		N_1 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x
	$$		$$

	$$		$$
	N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x = 2 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}		N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x = 2 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}
	$$		$$

	$$		$$
	N_1 \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3}		N_1 \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3}
	$$		$$

	Для случая б:		Для случая б:

	@@ -40,13 +41,14 @@Решение:
	$$		$$
	N_2 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x'		N_2 = N \sqrt{\frac{m}{2 \pi k T}} \exp \left( - \frac{m \bar{v}_x^2}{2 k T} \right) \Delta \bar{v}_x'
	$$		$$

	$$		$$
	N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x' = 4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}		N = 2 \times 10^{19} \, \text{см}^{-3}, \quad \bar{v}_x = 500 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}, \quad \Delta \bar{v}_x' = 4 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}
	$$		$$

	$$		$$
	N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}		N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}
	$$		$$


	### Ответ:		### Ответ:

	$$		$$
	\begin{aligned}		\begin{aligned}
	\mathrm{a)} N_1 & \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3},\quad\mathrm{б)~}N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}.		\mathrm{a)} N_1 & \approx10^{16}\mathrm{~cм}^{-3},\quad\mathrm{б)~}N_2\approx2\cdot10^{22}\mathrm{~м}^{-3}.
	\end{aligned}		\end{aligned}
	$$		$$
	unchanged lines 5